Олимпиада школьников 6 класс. | Олимпиадные задания по математике (6 класс) на тему: | Образовательная социальная сеть

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ  2022-2022                                       Школьный этап. 6 класс

 1           Вася может получить число 100, используя десять шестёрок, скобки и

знаки арифметических действий: 100 = (66 : 6 – 6 : 6) ∙ (66 : 6 – 6 : 6) .

Улучшите его результат: используйте меньшее число шестёрок и получите

число 100. (Достаточно привести один пример).

2     Разрежьте фигуру на 3 равные части.

3     Попрыгунья Стрекоза половину времени каждых суток красного лета спала, третью часть времени каждых суток танцевала, шестую часть – пела. Остальное время она решила посвятить подготовке к зиме. Сколько часов в сутки Стрекоза готовилась к зиме?

4     Как отмерить 2 л воды, находясь около реки и имея два ведра вместимостью 10 л и 6 л? (2 л воды должны получиться в одном

ведре).

5      Папа, Маша и Яша идут в школу. Пока папа делает 3 шага, Маша

делает 5 шагов. Пока Маша делает 3 шага, Яша делает 5 шагов. Маша

и Яша посчитали, что вместе они сделали 400 шагов. Сколько шагов

сделал папа? (Напишите решение задачи, а не только ответ).

6      Расшифруйте запись. Одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры, разными буквами – разные цифры. 

   УДАР

   УДАР

ДРАМА

7      Кот Матроскин прикинул, что он может выложить пол квадратной комнаты квадратной плиткой, и ему не понадобится ни одну из них разрезать. Сначала он положил плитки по краям комнаты, и на это у него ушло 84 плитки. Сколько всего ему надо иметь плиток, чтобы покрыть весь пол?

Муниципальное образование «Гурьевский городской округ»

Всероссийская олимпиада школьников по математике

 (школьный этап)

2022-2022 учебный год

6 класс

                                     Максимальное количество баллов – 51

Время выполнения – 1,5 астрономических часа

Задание 1. (7баллов) Восстановите цифры, замененные буквами в ребусе, чтобы получилось верное равенство. Одинаковые цифры заменены одинаковыми буквами, а разным цифрам соответствуют разные буквы.

                           АААА – ВВВ СС – Д = 1234

Задание 2. (2балла)  Сколько прямоугольников изображено на рисунке?

Задание 3. (5баллов) Расставьте числа     ; ; ;    в порядке убывания.

Задание 4. (3балла) Рыбаки поймали 19 рыб массой 100г, 200г ,…,1900г. Можно ли весь улов поделить поровну между десятью рыбаками? Если можно, то как? Если нет, то почему?

Задание 5. (5баллов) В семье четверо детей, им 5, 8, 13 и 15 лет. Детей зовут Аня, Боря, Вера, Галя. Сколько лет каждому ребенку, если одна девочка ходит в детский сад, Аня старше Бори и сумма лет Ани и Веры делится на 3?

Задание 6. (10баллов) Сравните значение выражений:

50,904 : (5,041 – 0,016 × 0,0625)       и        от 4,004

Задание 7. (9баллов) Найдите натуральные решения неравенства:

   ˂    ˂

Задание 8. (10баллов) Найдите число, если 16% этого числа равны 10% числа 4,8.

Решения и критерии оценки.

1. Решение:

2222 – 999 11 – 0 = 1234      

2. Ответ : 15 прямоугольников             

3. Решение :

9 : 10 = 0,900 ;  10 : 11 ≈ 0,909; 11 : 12 ≈ 0,917; 12 : 13 ≈ 0,923

Ответ :  ;  ;  ;                          

4. Решение :  

Да. Например : 1 рыбак -1900г ;  2 рыбак -100г   1800г ;                                                  3 рыбак -200г 1700г ;   4 рыбак -300г 1600г ;   5 рыбак -400г 1500г;                                                  6 рыбак -500г 1400г ;   7 рыбак -600г 1300г ;   8 рыбак -700г 1200г ;                                                  9 рыбак – 800г 1100г ;  10 рыбак – 900г 1000г.

5. Решение :

Одна девочка ходит в детский  сад – 5 лет, т.к. девочка, значит Борю  не учитывать. Аня старше Бори, значит ей  точно не 8 лет, либо 13 лет или 15 лет.

Сумма лет Ани и Веры, которая делится на 3 это 5лет и 13 лет. Значит Ане и Вере 5 и 13 лет. Какой и сколько?

Если девочка ходит в детский сад (от 1 до 6 лет), то Вере 5 лет, по условию задачи Аня старше Бори, значит ее возраст более 8 лет. Поэтому Ане 13 лет, а Боре 8 лет.

Ане не может быть 15 лет, так как ни одна сумма при делении, включая число 15 не делится на 3. Значит Гале 15 лет.

Ответ : Гале 15 лет, Ане 13 лет, Боре 8 лет, а Вере 5 лет.

6. Решение :

0,016 ∙ 0,0625 = 0,001                     4,004 : 2 ∙ 5 = 2,002 ∙ 5 = 10,01

5,041 – 0,001 = 5,04

50,904 : 5,04 = 10,1

                                      10,1 > 10,01

Ответ :  50,904 : (5,041 – 0,016 × 0,0625)      >     5/2 от 4,004

7. Решение :

 <  <

 Ответ : х = 6; 7

8. Решение :

4,8 ∙ 0,1 = 0,48

0,48 ÷ 0,16 = 3

Ответ :  3

      Задания школьного этапа Всероссийской олимпиады школьников

  Шестой класс

           1.В записи (88888888) нужно поставить знаки сложения таким образом, чтобы получилась сумма, которая будет равна 1000.

          2. Малыш, Алиса, Кай и Женя заняли первые четыре места в соревнованиях, причем никто из них не делил между собой какие-нибудь места. Известно:

1. Малыш не был ни первым, ни четвертым.
2. Алиса заняла второе место.
3. Кай не был последним.

   Какое место занял каждый?

 3. Мама дала Зое денег ,чтобы она в школьном буфете купила завтрак.

Когда Зоя вер вернулась из школы, то перед мамой отчиталась так: «1/2   всех денег я истратила на бумагу,1/5  -на чай, а 3/10  -на конфеты». Мама догадалась, что дочь истратила все деньги. Как она узнала ?

       4. «Змей Горыныч побежден!»-такая молва дошла до Микулы Селяниновича. Он знал, что мог это сделать либо Илья Муромец, либо Алеша Попович, либо Добрыня Никитич. Вскоре Микуле сообщили:

1)Змея Горыныча победил не Илья Муромец;

2)Змея Горыныча победил Алеша Попович.

Спустя некоторое время выяснилось, что одно их этих сообщений неверное, а другое верное. Догадайтесь, кто из трех богатырей победил Змея Горыныча.

            5.Трое рыбаков поймали 75 карасей. Стали варить уху.  Когда один дал 8 карасей, а другой 12, а третий-7, то карасей у них стало поровну. Сколько карасей поймал каждый рыбак?

          6. Имеется 8 палочек длиной в 1см, 8 палочек длиной в 2см и 7 палочек длиной в 5 см.

     Можно ли из всех палочек этого набора сложить прямоугольник?

 Разламывать палочки нельзя.

.

О Т В Е Т Ы  И РЕШЕНИЯ

 ШКОЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ

  6 класс

               1. (6 баллов)  В записи (88888888) нужно поставить знаки сложения таким образом, чтобы получилась сумма, которая будет равна 1000.
 Решение:
Способ 1: 88 8 8 8 888=1000
Способ 2: 8 8 888 88 8=1000.

         2. (6 баллов)  Малыш, Алиса, Кай и Женя заняли первые четыре места в соревнованиях, причем никто из них не делил между собой какие-нибудь места. Известно:

4. Малыш не был ни первым, ни четвертым.
5. Алиса заняла второе место.
6. Кай не был последним.

 Какое место занял каждый?

Ответ:  Малыш-3, Алиса-2, Кай-1, Женя-4 место.

        3. (6 баллов)  Мама дала Зое денег ,чтобы она в школьном буфете купила завтрак. Когда Зоя вер вернулась из школы, то перед мамой отчиталась так: «1/2   всех денег я истратила на бумагу,1/5  -на чай, а 3/10  -на конфеты». Мама догадалась, что дочь истратила все деньги. Как она узнала?

           Решение: 1/2 1/5 3/10=1, т.е. все деньги

                4. (6 баллов)  «Змей Горыныч побежден!»-такая молва дошла до Микулы Селяниновича. Он знал, что мог это сделать либо Илья Муромец, либо Алеша Попович, либо Добрыня Никитич. Вскоре Микуле сообщили:

1)Змея Горыныча победил не Илья Муромец;

2)Змея Горыныча победил Алеша Попович. Спустя некоторое время выяснилось, что одно их этих сообщений неверное, а другое верное. Догадайтесь, кто из трех богатырей победил Змея Горыныча.

Ответ. Добрыня Никитич.

Решение. Предположим, что Змея Горыныча победил Илья Муромец. Тогда оба сообщения неверные-результат не соответствует условию задачи. Предположим, что Змея Горыныча победил Алеша Попович.Тогда оба сообщения верные. И этот результат не соответствует условию задачи.

Предположим, что Змея Горыныча победил Добрыня Никитич.Тогда первое сообщение верное, а второе- неверное. Результат соответствует условию задачи

       5. (6 баллов) Трое рыбаков поймали 75 карасей. Стали варить уху. Когда один дал 8 карасей , а другой 12, а третий-7, то карасей у них стало поровну. Сколько карасей поймал каждый рыбак?                

Решение. 75-8-12-7=48(осталось всего окуней)

48 окуней на 3 рыбака.48:3=16

У каждого рыбака осталось по 16 окуней

16 8 = 24  – поймал 1 рыбак

16 12 = 28  – поймал 2 рыбак

 16 7 = 23 – поймал 3 рыбак

Ответ: 24, 28, 23.

       6. (6 баллов) Имеется 8 палочек длиной в 1см, 8 палочек длиной в 2см и 7 палочек длиной в 5 см.   Можно ли из всех палочек этого набора сложить прямоугольник?   Разламывать палочки нельзя.
Решение.
Если a и b – длины сторон прямоугольника, периметр P = 2(a b), т. е. P – четное число в случае целых a и b.
8*1 8*2 7*5=8 16 35=59 (см) – нечетное число.
Поэтому из всех палочек данного набора прямоугольник сложить нельзя.
Ответ: нельзя

Ключи школьной олимпиады по математике

11 класс

1. Сумма двух чисел равна 1. Может ли их произведение быть больше 0,3?

Ответ. Нет.

Решение. Обозначим первое число за x, тогда второе будет равно 1 – x, а их произведение . Максимальное значение данного квадратного трёхчлена достигается при x = 0,5 и составляет 0,25.

2. Отрезки AM и BH – соответственно медиана и высота треугольника ABC.

Известно, что AH = 1 и . Найти длину стороны BC.

Ответ. 2 см.

Решение. Проведём отрезок МН, он будет медианой прямоугольного треугольника BHC, проведённой к гипотенузе BC и равен её половине. Тогда  –  равнобедренный, поэтому , значит, , поэтому, AH = HM = MC = 1 и BC = 2MC = 2 см.

3. При каких значениях числового параметра а неравенство  верно при всех значениях х?

Ответ. .

Решение. При имеем 0″>, что неверно.

При -“>1 сократим неравенство на , сохраняя знак:

. Такое неравенство верно для всех х только при .

При <img src="https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=а сократим неравенство на , меняя знак на противоположный: . Но квадрат числа никогда не бывает отрицательным.

4. Есть один килограмм 20%-ного соляного раствора. Лаборант поместил колбу с этим раствором в аппарат, в котором выпаривается вода из раствора и одновременно с этим в него с постоянной скоростью, равной 300 г./ч., подливается 30%-ный раствор этой же соли. Скорость выпаривания также постоянна и составляет 200 г./ч. Процесс останавливается, как только в колбе окажется 40%-ный раствор. Какова будет масса полученного раствора?

Ответ. 1,4 килограмма.

Решение. Пусть t — время, в течение которого работал аппарат. Тогда по окончании работы в колбе получилось 1 (0,3 – 0,2)t = 1 0,1t кг. раствора. При этом масса соли в этом растворе равна 1 · 0,2 0,3 · 0,3 · t = 0,2 0,09t. Так как полученный раствор содержит 40% соли, получаем
0,2 0,09t = 0,4(1 0,1t), то есть 0,2 0,09t = 0,4 0,04t, отсюда t = 4 ч. Следовательно, масса полученного раствора равна 1 0,1 · 4 = 1,4 кг.

5. Сколькими способами среди всех натуральных чисел от 1 до 25 можно выбрать 13 различных так, чтобы сумма любых двух выбранных чисел не равнялась 25 или 26?

Ответ. Единственным.

Решение. Запишем все наши числа в следующем порядке: 25,1,24,2,23,3,…,14,12,13. Ясно, что любые два из них равны в сумме 25 или 26 тогда и только тогда, когда являются в этой последовательности соседними. Таким образом, среди выбранных нами тринадцати чисел не должно быть соседних, откуда сразу получаем, что это должны быть все члены этой последовательности с нечётными номерами – выбор единственный.

6. Пусть k – натуральное число. Известно, что среди 29 последовательных чисел 30k 1, 30k 2, …, 30k 29 имеется 7 простых. Докажите, что первое и последнее из них – простые.

Решение. Вычеркнем из этого ряда числа, кратные 2, 3 или 5. Останется 8 чисел: 30k 1, 30k 7, 30k 11, 30k 13, 30k 17, 30k 19, 30k 23, 30k 29. Допустим, что среди них есть составное число. Докажем, что это число кратно 7. Первые семь этих чисел дают разные остатки при делении на 7, т. к. числа 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23 дают разные остатки при делении на 7. Значит, одно из этих чисел кратно 7. Заметим, что число 30k 1 не кратно 7, иначе 30k 29 также будет кратно 7, а составное число должно быть ровно одно. Значит, числа 30k 1 и 30k 29 — простые.