Задания Девятой Олимпиады по математике Осень 2021 7 класс | Систематика

Задания девятой олимпиады по математике осень 2021 7 класс | систематика

Задания и ответы пригласительного этапа 2021 вош:

Пригласительный школьный этап 2021 всероссийская олимпиада школьников задания и ответы

Поделиться

Задания и ответы пригласительного этапа 2021 года ВОШ (Сириус) по математике для 7, 8, 9, 10 класса всероссийская олимпиада школьников, дата проведения онлайн олимпиады: 13.05.2021 (13 мая 2021 год).

Пригласительный школьный этап вош 2021 по математике 10 класс:

1)Равносторонний треугольник со стороной 11 разбит на 121 маленький равносторонний треугольничек со стороной 1. Найдите количество ромбов, состоящих из 8 маленьких треугольничков (такие ромбы можно поворачивать).

2)Ровно в полдень из посёлка выехал грузовик и поехал в город, в это же время из города выехал автомобиль и поехал в посёлок. Если бы грузовик выехал на 45 минут раньше, то они бы встретились на 36 километров ближе к городу. А если бы автомобиль выехал на 20 минут раньше, то они бы встретились на k километров ближе к посёлку. Найдите k.

3)Рассмотрим последовательность. Например, a1=cos1∘,a6=cos100000∘ . Сколько среди чисел a1,a2,…,a200 положительных?

4)В трапецию ABCD вписана окружность ω, L — точка касания ω и стороны CD. Известно, что CL:LD=1:4. Найдите площадь трапеции ABCD, если BC=12, CD=40.

5)В клетчатой таблице 5 строк и 6 столбцов; в каждой клетке стоит либо крестик, либо нолик, либо звёздочка. Известно, что: в каждом столбце число ноликов не меньше числа крестиков; в каждом столбце число ноликов не меньше числа звёздочек; в каждой строке число крестиков не меньше числа ноликов; в каждой строке число крестиков не меньше числа звёздочек. Сколько звёздочек может быть в такой таблице? Укажите все возможные варианты.

6)Оля нарисовала на плоскости N различных прямых, любые две из которых пересекаются. Оказалось, что среди любых 18 прямых обязательно найдутся две, угол между которыми равен 60∘. При каком наибольшем N такое возможно?

7)Действительные числа x и y таковы, что x3 15xy y3=125. Чему может равняться x y? Укажите все возможные варианты.

Пригласительный школьный этап вош 2021 по математике 7 класс:

1)Андрей, Борис и Денис ели конфеты, каждый ел со своей постоянной скоростью. Пока Борис ел 4 конфеты, Денис успевал съесть только 3. Андрей же ел конфеты быстрее всех: он съедал 7 конфет, пока Борис ел 6. Всего ребята съели 70 конфет. Кто сколько съел конфет?

2)Трое пиратов делили клад. Первому досталась треть от изначального количества монет и ещё 1 монета, второму досталась четверть от изначального количества монет и ещё 5 монет, третьему досталась пятая часть от изначального количества монет и ещё 20 монет (при этом все монеты оказались разобраны). Сколько монет было в кладе?

3)Четверо друзей Андрей, Борис, Вячеслав и Геннадий работают архитектором, баристой, ветеринаром и гитаристом. Однажды они вместе пошли в кино и купили билеты на четыре подряд идущих места. Оказалось, что: рядом с ветеринаром сидят архитектор и гитарист; у баристы сосед справа — Вячеслав;

4)В треугольнике ABC были проведены медиана CM и биссектриса BL. Затем с чертежа стёрли все отрезки и точки, кроме точек A(8;13), M(11;11) и L(6;9). Какие координаты имела точка C?

5)Если взвод солдат разбить на бригады по 7 человек, то 2 человека не войдут ни в одну бригаду. Если же взвод разбить на бригады по 12 человек, то снова 2 человека не войдут ни в одну бригаду. Какое минимальное количество солдат надо добавить во взвод, чтобы его целиком можно было разбить как на бригады по 7 человек, так и на бригады по 12 человек?

6)В ряд высажено 101 дерево: тополя, берёзы и сосны. Между каждыми двумя тополями растёт хотя бы одно дерево, между каждыми двумя берёзами растёт хотя бы два дерева, между каждыми двумя соснами растёт хотя бы три дерева. Сколько сосен могло быть высажено? Укажите все возможные варианты.

7)В трёх из шести кругов диаграммы записаны числа 4, 14 и 6. Сколькими способами в оставшиеся три круга можно поставить натуральные числа так, чтобы произведения троек чисел вдоль каждой из трёх сторон треугольной диаграммы были одинаковыми?

8)Дан равнобедренный треугольник ABC (AB=BC). На луче BA за точкой A отмечена точка E, на стороне BC отмечена точка D. Известно, что ∠ADC=∠AEC=60∘,AD=CE=19. Найдите длину отрезка AE, если DC=11.

Пригласительный школьный этап вош 2021 по математике 8 класс:

1)В квадрате 5×5 покрасили в чёрный цвет некоторые клетки так, как показано на рисунке. Рассмотрим всевозможные квадраты, стороны которых идут по линиям сетки. В скольких из них одинаковое количество чёрных и белых клеток?

2)Среднее арифметическое трёх двузначных натуральных чисел x,y,z равно 40. Какое наибольшее значение может принимать выражение x yz?

3)В треугольнике ABC известны стороны AC=22 и AB=8. Окружность с центром O, построенная на стороне AC как на диаметре, пересекает сторону BC в точке K. Оказалось, что ∠BAK=∠ACB. Найдите площадь треугольника BOC.

4)Найдите любое решение ребуса ABCA¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯=455⋅CD¯¯¯¯¯¯¯¯, где A, B, C, D — четыре различные ненулевые цифры (запись XY…Z¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ означает десятичную запись числа). В качестве ответа напишите четырёхзначное число

5)В забеге участвовали несколько людей, среди которых были Андрей, Дима и Лёня. Никакие два участника этого забега не прибежали одновременно. Людей, прибежавших до Андрея, в 2 раза меньше, чем людей прибежавших после него. Людей, прибежавших до Димы, в 3 раза меньше, чем людей, прибежавших после него.

6)Натуральное число назовём интересным, если все его цифры различны, а сумма любых двух рядом стоящих цифр — квадрат натурального числа. Найдите наибольшее интересное число.

7)Дан равнобедренный треугольник ABC, в котором AB=AC и ∠ABC=54∘. Точка K такова, что C — середина отрезка AK. Точка M выбрана так, что: B и M находятся по одну сторону от прямой AC ; KM=AB ; угол MAK — максимальный из возможных. Сколько градусов составляет угол BAM ?

8)Компьютер умеет применять к числу три операции: «увеличить на 2», «увеличить на 3», «умножить на 2». В компьютер ввели число 1 и заставили его перебрать всевозможные комбинации из 6 операций (каждая из таких комбинаций применяется к исходному числу 1). После скольких из этих комбинаций у компьютера в итоге получится чётное число?

Пригласительный школьный этап вош 2021 по математике 9 класс:

1)В первый час смены мастер изготовил 35 деталей. Затем он понял, что, сохранив текущую скорость, ему придётся задержаться на час, чтобы выполнить план на смену. Увеличив свою скорость на 15 деталей в час, он выполнил план на полчаса раньше окончания смены. Сколько деталей должен изготовить мастер за смену?

2)В первый час смены мастер изготовил 20 деталей. Затем он понял, что, сохранив текущую скорость, ему придётся задержаться на час, чтобы выполнить план на смену. Увеличив свою скорость на 15 деталей в час, он выполнил план на полчаса раньше окончания смены. Сколько деталей должен изготовить мастер за смену?

3)Фермер сказал: «У меня есть N кроликов. Длинные уши ровно у 13 из них. А умеют далеко прыгать ровно 18 из них». Путник справедливо заметил: «Следовательно, среди Ваших кроликов гарантированно хотя бы 3 кролика одновременно и имеют длинные уши, и умеют далеко прыгать». Какое наибольшее значение может принимать число N ?

4)За круглым столом сидят 40 рыцарей и 10 самураев. Ровно у 7 рыцарей сосед справа — самурай. Какое наибольшее количество рыцарей могло сидеть рядом с двумя рыцарями?

5)Дан прямоугольник ABCD. Окружность пересекает сторону AB в точках K и L, а сторону CD — в точках M и N соответственно (K лежит между A и L, M лежит между C и N). Найдите длину отрезка MN, если AK=11, KL=17, DN=7.

6)Учитель написал на доске число. Саша решил поделить его с остатком на 102, а Маша — на 103. Оказалось, что частное, полученное Сашей, и остаток, полученный Машей, в сумме дают 20. Какой остаток получил Саша? Укажите все возможные варианты.

7)Через точки A(0;14) и B(0;4) проведены две параллельные прямые. Первая прямая, проходящая через точку A, пересекает гиперболу y=1x в точках K и L. Вторая прямая, проходящая через точку B, пересекает гиперболу y=1x в точках M и N.

8)Компания ребят решила поиграть в компьютерную игру. Любые два человека либо играют сообща, либо друг против друга; причём если игрок A играет сообща с B, а B играет против C, то A тоже играет против C. Из скольких ребят состоит компания, если у каждого игрока было ровно 14 соперников? Укажите все возможные варианты.