07.12.2021 Олимпиада по математике 4-11 класс ответы и задания для муниципального этапа 2021-2022

Школьная олимпиада по математике 8 класс.

На некотором острове живут два племени: рыцари, которые говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Путешественник, попавший на остров, нанял себе слугу. Однажды, гуляя по острову, путешественник увидел местного жителя и послал слугу узнать, кто это. Вернувшийся слуга ответил, что, по словам встреченного, он —  из племени рыцарей. Из какого племени слуга путешественника?

Вычислить наиболее рациональным способом:

Найдите сумму пяти внутренних углов произвольной пятиконечной звезды.

Постройте график уравнения ( – 1) ∙

Представьте в виде рациональной дроби:

Если между цифрами двузначного числа вписать нуль, то полученное трехзначное число будет в 9 раз больше первоначального. Найти двузначное число.

Если встреченный абориген – рыцарь, то он скажет слуге правду, то есть что он рыцарь. Если встреченный абориген – лжец, то он солжет и скажет слуге, что он – рыцарь. Следовательно, слуга сказал путешественнику правду, значит, слуга – рыцарь.

о свойстве внешнего угла треугольника). Тогда

5                  2

7    6

Графиком уравнения являются две прямые, заданные уравнениями:

Вставим нуль между цифрами 4 и 5. Получаем  405: 9 = 45.

Ключи школьной олимпиады по математике

Сумма двух чисел равна 1. Может ли их произведение быть больше 0,3?

Обозначим первое число за , тогда второе будет равно 1 – , а их произведение

. Максимальное значение данного квадратного трёхчлена достигается при  = 0,5 и составляет 0,25.

— соответственно медиана и высота треугольника

. Найти длину стороны

он будет медианой прямоугольного треугольника , проведённой к гипотенузе  и равен её половине. Тогда  –  равнобедренный, поэтому AH = HM = MC = 1 BC = 2MC = 2

При каких значениях числового параметра  верно при всех значениях

1 сократим неравенство на

, сохраняя знак:

. Такое неравенство верно для всех

. Но квадрат числа никогда не бывает отрицательным.

Есть один килограмм 20%-ного соляного раствора. Лаборант поместил колбу с этим раствором в аппарат, в котором выпаривается вода из раствора и одновременно с этим в него с постоянной скоростью, равной 300 г./ч., подливается 30%-ный раствор этой же соли. Скорость выпаривания также постоянна и составляет 200 г./ч. Процесс останавливается, как только в колбе окажется 40%-ный раствор. Какова будет масса полученного раствора?

Пусть t — время, в течение которого работал аппарат. Тогда по окончании работы в колбе получилось 1 + (0,3 – 0,2)t = 1 + 0,1t кг. раствора. При этом масса соли в этом растворе равна 1 · 0,2 + 0,3 · 0,3 · t = 0,2 + 0,09t. Так как полученный раствор содержит 40% соли, получаем 0,2 + 0,09t = 0,4(1 + 0,1t), то есть 0,2 + 0,09t = 0,4 + 0,04t, отсюда t = 4 ч. Следовательно, масса полученного раствора равна 1 + 0,1 · 4 = 1,4 кг.

Сколькими способами среди всех натуральных чисел от 1 до 25 можно выбрать 13 различных так, чтобы сумма любых двух выбранных чисел не равнялась 25 или 26?

Вычеркнем из этого ряда числа, кратные 2, 3 или 5. Останется 8 чисел: 30k+1, 30k+7, 30k+11, 30k+13, 30k+17, 30k+19, 30k+23, 30k+29. Допустим, что среди них есть составное число. Докажем, что это число кратно 7. Первые семь этих чисел дают разные остатки при делении на 7, т. к. числа 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23 дают разные остатки при делении на 7. Значит, одно из этих чисел кратно 7. Заметим, что число 30k+1 не кратно 7, иначе 30k+29 также будет кратно 7, а составное число должно быть ровно одно. Значит, числа 30k+1 и 30k+29 — простые.

Задания по математике в рамках проведения Всероссийской олимпиады школьников, школьный этап, 2020-2021 учебный год

1.Какие четыре цифры надо вычеркнуть из числа 4921508, чтобы получившееся трёхзначное число было как можно меньше?

2. Не меняя расположения цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 поставьте между ними знак сложения таким образом, чтобы получилась сумма равная 100. Если понадобится, две любые стоящие рядом цифры считайте двузначным числом. Выполните задание двумя разными способами.

3. Шестеро тянут репку: дедка вдвое сильнее бабки, бабка вдвое сильнее внучки, внучка вдвое сильнее Жучки, Жучка вдвое сильнее кошки, кошка вдвое сильнее мышки. Сколько нужно позвать мышек, чтобы они сами вытянули репку?

4. Если сторону квадрата, периметр которого 36 см, уменьшить в 3 раза, то получится ширина прямоугольника, периметр которого 22 см. Найдите длину этого прямоугольника и вычислите площадь.

5. Рысь съедает 600 кг мяса за 6 часов, а тигр в 2 раза быстрее. За какое время они съедят это мясо вместе?

6. Поймали три поросёнка 32 пескаря и стали варить уху. Ниф-Ниф отдал для ухи 4 рыбки, Наф-Наф -7, Нуф-Нуф-12. После этого у них осталось рыбок поровну. Сколько пескарей поймал каждый из поросят?

7.Галя, Лена и Вера помогали собирать урожай – яблоки, груши и сливы. Каждая из девочек собирала что-то одно. Больше всего было собрано яблок, Лена не собирала груши, а Лена и Вера вдвоём набрали фруктов меньше, чем Галя. Кто что собирал?

8. Третьеклассникам надо посадить 3 ряда яблонь. Длина одного ряда 30 м, расстояние между яблонями 3 м. Сколько надо заготовить саженцев яблонь для посадки?

9. Найди значение выражения.

98 973 + (295 + 9037) х 4 – 521 160 : 4

Ответы по математике, школьный этап, 2020-2021 учебный год

1.Какие четыре цифры надо вычеркнуть из числа 4921508, чтобы получившееся трёхзначное число было как можно меньше?                            (2 балла)

вычеркнуть цифры 4,9,8,5.

(По 3 балла за каждый случай

всего – 6 балла)

1 + 2 + 34 + 56 + 7 = 100

1 + 23 + 4 + 5 + 67 = 100

. Шестеро тянут репку: дедка вдвое сильнее бабки, бабка вдвое сильнее внучки, внучка вдвое сильнее Жучки, Жучка вдвое сильнее кошки, кошка вдвое сильнее мышки. Сколько нужно позвать мышек, чтобы они сами вытянули репку?                          (15 баллов)

Сила кошки = силе 2 мышек

Сила Жучки = силе 4 мышек (2*2)

Сила внучки = силе 8 мышек (4*2)

Сила бабки = силе 16 мышек (8*2)

Сила дедки = силе 32 мышек (16*2)

1+2+4+8+16+32= 63 мышки

Если сторону квадрата, периметр которого 36 см, уменьшить в 3 раза, то получится ширина прямоугольника, периметр которого 22 см. Найдите длину этого прямоугольника и вычислите площадь.                                                 (15 баллов)

1) 36:4=9(см) – сторона квадрата

2) 9:3=3 (см) – ширина прямоугольника

3) 3*2=6 (см) – 2 ширины

4) (22-6):2= 8 (см) – длина прямоугольника

5) 8*3=24 (см

Ответ: 24 квадратных сантиметров — площадь прямоугольника.

1) 600:6=100(кг) – за 1 час съедает рысь

2) 100*2=200(кг) – за 1 час съедает тигр

3) 100+200=300(кг) – вместе за 1 час

4) 600:300=2 (ч)

Ответ: за 2 часа рысь и тигр съедят это мясо.

6. Поймали три поросёнка 32 пескаря и стали варить уху. Ниф-Ниф отдал для ухи 4 рыбки, Наф-Наф -7, Нуф-Нуф-12. После этого у них осталось рыбок поровну. Сколько пескарей поймал каждый из поросят?                                                 (15 баллов)

1)  4+7+12=23 пескаря отдали на уху

2)  (32-23) :3=3 пескаря осталось у каждого

3)  3+4=7 пескарей у Ниф-Нифа

4)  3+7=10 пескарей у Наф-Нафа

5)  3+12=15 пескарей у Нуф-Нуфа

Ответ.         Галя собирала яблоки, Лена – сливы, Вера – груши.     (10 баллов.)

8. Третьеклассникам надо посадить 3 ряда яблонь. Длина одного ряда 30 м, расстояние между яблонями 3 м. Сколько надо заготовить саженцев яблонь для посадки?

• 30:3+1=11(с.) — в одном ряду
• 11•3=33(с.)- надо заготовить                            (10 баллов)

98 973 + (295 + 9037) х 4 – 521 160 : 4                (12 баллов)

Задания, ответы и разбор заданий регионального этапа 2021 год ВОШ по математике для 8, 9, 10, 11 класса всероссийской олимпиады школьников XIII математическая олимпиада имени Леонарда Эйлера, официальная дата проведения: 05.02.2021-06.02.2021 (5-6 февраля 2021 года)

Региональный этап 2021 ВОШ олимпиады по математике задания и ответы для 8 класса

1)Натуральное число, большее 1000000, даёт одинаковые остатки при делении на 40 и на 125. Какая цифра может стоять у этого числа в разряде сотен?

3)В группе из 79 школьников у каждого 39 знакомых, причем у любого мальчика есть знакомая девочка, а у любой девочки ⎯ знакомый мальчик. Может ли оказаться, что все девочки из этой группы имеют в ней поровну знакомых мальчиков, а все мальчики ⎯ поровну знакомых девочек? Все знакомства ⎯ взаимные.

4)Петя и Вася играют в игру. Вася кладёт в ряд 150 монет: некоторые «орлом» вверх, некоторые — «решкой». Петя своим ходом может показать на любые три лежащие подряд монеты, после чего Вася обязан перевернуть какие-то две монеты из этих трёх по своему выбору. Петя хочет, чтобы как можно больше монет лежали «решкой» вверх, а Вася хочет ему помешать. При каком наибольшем k Петя сможет независимо от действий Васи добиться того, чтобы хотя бы k монет лежали «решкой» вверх?

5)CL — биссектриса треугольника ABC. CLBK — параллелограмм. Прямая AK пересекает отрезок CL в точке P. Оказалось, что точка P равноудалена от диагоналей параллелограмма CLBK. Докажите, что AK CL.

6)У уголка из трёх клеток центральной назовём клетку, соседнюю по стороне с двумя другими. Существует ли клетчатая фигура, которую можно разбить на уголки из трех клеток тремя способами так, чтобы каждая ее клетка в одном из разбиений была центральной в своем уголке?

7)Точка M — середина стороны AC равностороннего треугольника ABC. Точки P и R на отрезках AM и BC соответственно выбраны так, что AP = BR. Найдите сумму углов ARM, PBM и BMR.

8)Сначала Саша прямолинейными разрезами, каждый из которых соединяет две точки на сторонах квадрата, делит квадрат со стороной 2 на 2020 частей. Затем Дима вырезает из каждой части по кругу. Докажите, что Дима всегда может добиться того, чтобы сумма радиусов этих кругов была не меньше 1.

9)Дано натуральное число n, большее 2. Докажите, что если число n!+n 3+1 — простое, то число n 2+2 представляется в виде суммы двух простых чисел.

10)В квадратной таблице 2021х2021 стоят натуральные числа. Можно выбрать любой столбец или любую строку в таблице и выполнить одно из следующих действий: 1) Прибавить к каждому выбранному числу 1. 2) Разделить каждое из выбранных чисел на какое-нибудь натуральное число. Можно ли за несколько таких действий добиться того, чтобы каждое число в таблице было равно 1?

Региональный этап 2021 ВОШ олимпиады по математике задания и ответы для 9, 10, 11 класса

1)Ослик Иа-Иа составил из шести палочек два треугольника. Затем он разобрал треугольники обратно и покрасил шесть палочек в два цвета: три самых коротких — в желтый цвет, а три остальных — в зеленый. Обязательно ли ослику удастся составить два треугольника, один — из трех желтых палочек, а другой — из трех зеленых?

3)Петя и Вася играют на доске 100 × 100. Изначально все клетки доски белые. Каждым ходом Петя окрашивает в черный цвет одну или несколько белых клеток, стоящих подряд по диагонали. Каждым ходом Вася окрашивает в черный цвет одну или несколько белых клеток, стоящих подряд по вертикали. (Справа на рисунке показаны возможные первые ходы Пети и Васи на доске 4 × 4.) Первый ход делает Петя. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?

4)Первоклассник составил из шести палочек два треугольника. Затем он разобрал треугольники обратно и разбил шесть палочек на две группы по три палочки: в первой группе оказались три самых длинных палочки, а во второй — три самых коротких. Обязательно ли можно составить треугольник из трех палочек первой группы? А из трех палочек второй группы?

5)Вписанная окружность касается сторон AB, BC и CA неравнобедренного треугольника ABC в точках C1, A1 и B1 соответственно. Пусть m — средняя линия треугольника A1B1C1, параллельная стороне B1C1. Биссектриса угла B1A1C1 пересекает m в точке K. Доказать, что описанная окружность треугольника BCK касается m.

6)Натуральное число, большее 1000000, дает одинаковые остатки при делении на 40 и на 625. Какая цифра может стоять у этого числа в разряде тысяч?

8)Треугольная пирамида SABC вписана в сферу Ω. Докажите, что сферы, симметричные Ω относительно прямых SA, SB, SC и плоскости ABC, имеют общую точку. Сфера, симметричная данной относительно прямой ℓ — это сфера такого же радиуса, у которой центр симметричен центру исходной сферы относительно прямой ℓ.

10)Десятизначные натуральные числа a, b, c таковы, что а + b = c. Какое наибольшее количество из 30 их цифр могут оказаться нечетными?

11)Вася записал в клетки таблицы 9 × 9 натуральные числа от 1 до 81 (в каждой клетке стоит по одному числу, все числа различны). Оказалось, что любые два числа, отличающихся на 3, стоят в соседних по стороне клетках. Верно ли, что обязательно найдётся две угловых клетки, разность чисел в которых делится на 6?

12)Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Оказалось, что точка пересечения медиан треугольника ABD лежит на биссектрисе угла BCD. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника ABC лежит на биссектрисе угла ADC.

14)На доску выписали три натуральных числа: два десятизначных числа а и b, а также их сумму а + b. Какое наибольшее количество нечетных цифр могло быть выписано на доске?

15)Фокусник с помощником собираются показать следующий фокус. У них есть n ≥ 3 карточек с номерами 1, 2,. .., n, и ряд из n клеток размером в карточку. Оборотные стороны всех карточек неразличимы. Зритель выкладывает на некоторые два места карточки 1 и 2; помощник фокусника, видя это, выкладывает на свободные места остальные карточки. Затем все карточки переворачиваются числами вниз, и входит фокусник. Он переворачивает одну из карточек, а затем зритель переворачивает другую. После этого фокусник должен правильно указать карточку 1 и правильно указать карточку 2. При каких n фокусник и помощник смогут договориться так, чтобы гарантированно фокус удался?

16)Пусть I — центр вписанной окружности остроугольного треугольника ABC, M и N — точки касания вписанной окружности сторон AB и BC соответственно. Через точку I параллельно стороне AC проведена прямая ℓ и на нее опущены перпендикуляры AP и CQ. Докажите, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности.

Другие задания и ответы ВОШ регионального этапа 2021

ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2020-2021 региональный этап задания и ответы

ПОДЕЛИТЬСЯ МАТЕРИАЛОМ

Официальные задания, ответы и решения муниципального этапа 2021 всероссийской олимпиады школьников ВСОШ по математике для 7, 8, 9, 10, 11 класса 2021-2022 учебного года, официальная дата проведения олимпиады в Москве: 1-5 декабря 2021 год.

Муниципальный этап 2021 олимпиада по математике 7 класс задания и ответы

1)В 7 «Б» классе учится больше 3, но меньше 15 детей. На Новый год к ним пришёл Дед Мороз с мешком, в котором было 195 конфет. Раздав всем ребятам в классе поровну конфет, Дед Мороз обнаружил, что в мешке осталось 8 конфет. Сколько конфет получил каждый из ребят?

2)В белом клетчатом квадрате 5 × 5 Петя закрасил несколько клеток в чёрный цвет так, что в каждом клетчатом квадрате 2 × 2 оказалось не более двух чёрных клеток. Его друг Вася, посмотрев на рисунок, решил перекрасить в белый цвет некоторые 5 клеток, любые две из которых находятся в разных строках и в разных столбцах. После этого получился рисунок, изображённый ниже.

3)На рисунке изображены 5 прямых, пересекающиеся в одной точке. Один из получившихся углов равен 34°. Сколько градусов составляет сумма четырёх углов, закрашенных серым цветом?

4)На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Однажды 35 жителей острова расселись за 7 столов, по 5 человек за каждым. Каждого из этих 35 жителей спросили: «Столов, за которыми сидят хотя бы 3 рыцаря, больше трёх»? 5.1 (1 балл) Какое наибольшее число жителей могли ответить «Да»? 5.2 (3 балла) Какое наибольшее число жителей могли ответить «Нет»?

5)В кружочки на рисунке расставлены натуральные числа 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 (каждое число — в одном кружочке) так, что все три суммы трёх чисел вдоль каждой линии равны. Какое число может оказаться в кружочке X? Укажите все возможные варианты.

6)На стороне AC равностороннего треугольника ABC отмечена точка D. На отрезках AD и DC во внешнюю сторону от исходного треугольника построены равносторонние треугольники ADE и DCF. Известно, что периметр треугольника DEF равен 19, а периметр пятиугольника ABCFE равен 43.

7)В шахматном турнире участвовали 30 шахматистов, каждый сыграл с каждым ровно один раз. За победу давалось 1 очко, за ничью — 1/2, а за поражение — 0. У какого наибольшего числа шахматистов по окончании турнира могло оказаться ровно 5 очков?

8)Дан прямоугольник ABCD. Прямая, проходящая через вершину A и точку K на стороне BC, делит весь прямоугольник на две части, площадь одной из которых в 5 раз меньше площади другой. Найдите длину отрезка KC, если AD = 60.

9)В ряд лежат 127 шариков, каждый из которых либо красный, либо зелёный, либо синий. Известно, что • есть хотя бы один красный, хотя бы один зелёный и хотя бы один синий шарик; • слева от каждого синего шарика лежит красный шарик; • справа от каждого зелёного шарика лежит красный шарик.

11)Клетчатый прямоугольник площади S таков, что: • его целиком можно разрезать по линиям сетки на прямоугольники 1 × 13; • его целиком можно разрезать по линиям сетки на трёхклеточные уголки (примеры уголков изображены на рисунке ниже); • не существует клетчатого прямоугольника меньшей площади, удовлетворяющего двум предыдущим условиям.

13)Дан прямоугольный равнобедренный треугольник ABC с прямым углом A. Квадрат KLMN расположен, как на рисунке: точки K, L, N лежат на сторонах AB, BC, AC соответственно, а точка M расположена внутри треугольника ABC. Найдите длину отрезка AC, если известно, что AK = 7, AN = 3.

14)В ряд встали 7 гномов: Весельчак, Ворчун, Простачок, Скромник, Соня, Умник и Чихун. На каждом из них кофта с первой буквой его имени и колпак. У некоторых из них сегодня плохое настроение, и они при любой просьбе делают всё наоборот (остальные гномы делают то, что их попросят). Белоснежка попросила снять колпак тех, рядом с которыми стоит хотя бы один гном с плохим настроением. Получилось так, как изображено на следующем рисунке: колпак сняли все гномы.

15)В четырёх классах школы учится более 70 детей, все они пришли на собрание параллели (других детей на собрании не было). Каждую пришедшую девочку спросили: «Сколько пришло человек из твоего класса, включая тебя?» Каждого пришедшего мальчика спросили: «Сколько пришло мальчиков из твоего класса, включая тебя?» Среди ответов встретились числа 7, 9, 10, 12, 15, 16, 19 и 21 (все дети ответили верно). 2.1 (1 балл) Сколько детей учится в самом большом классе параллели? 2.1 (3 балла) Сколько девочек пришло на собрание параллели?

16)Фома и Ерёма ехали по прямой дороге в Москву на повозке с постоянной скоростью. • В 12:00 Фома спросил: «Сколько вёрст до Москвы?» • Ерёма ответил: «82». • В 13:00 Фома спросил: «Сколько вёрст до Москвы?» • Ерёма ответил: «71». • В 15:00 Фома спросил: «Сколько вёрст до Москвы?» • Ерёма ответил: «46». Известно, что Ерёма каждый раз округлял расстояние до ближайшего целого, а если таких было два — то до любого на свой выбор. В 16:00 Фома снова спросил: «Сколько вёрст до Москвы?» В этот раз Ерёма уже дал точный ответ, не округляя его. Что ответил Ерёма?

17)Дан треугольник ABC, точка M — середина стороны BC. Пусть l — биссектриса внешнего угла A треугольника ABC. Прямая, проходящая через M и параллельная l, пересекает сторону AB в точке K. Найдите длину отрезка AK, если AB = 23 и AC = 8.

18)На плоскости отмечено 36 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Некоторые пары отмеченных точек соединены отрезком так, что из каждой отмеченной точки выходит не более 3 отрезков. Какое наибольшее количество различных замкнутых 4-звенных ломаных может получиться? Вершинами ломаной могут быть только отмеченные точки, а звеньями — только проведённые отрезки. Неважно, где у ломаной начало и как она ориентирована: например, если для некоторых 4 отмеченных точек A, B, C, D проведены отрезки AB, BC, CD, DA, то ABCD, BCDA, CDAB, DABC, ADCB, BADC, CBAD, DCBA — это одна и та же ломаная.

19)Найдите любое натуральное x такое, что значение выражения 2x + 28 + 211 является квадратом натурального числа.

20)По кругу лежат 36 шариков, каждый из которых либо красный, либо синий (шарики каждого из этих цветов присутствуют). Известно, что: • для любого красного шарика найдётся ровно один красный шарик такой, что между ними лежит ровно один шарик; • для любого красного шарика найдётся ровно один красный шарик такой, что между ними лежат ровно три шарика.

21)Пусть нет двух рядом лежащих красных шариков. Сколько всего красных шариков может лежать по кругу? Укажите все возможные варианты. Если ответом являются несколько чисел, то они вводятся все — каждое число в отдельное поле ввода в произвольном порядке. 2.2. (2 балла) Пусть есть два рядом лежащих красных шарика. Сколько всего красных шариков может лежать по кругу? Укажите все возможные варианты.

22)Несколько сладкоежек приняли участие в состязании по поеданию конфет. Каждый участник съел целое количество конфет, причём любые два участника съели разное количество конфет. Подводя итоги состязания, жюри упорядочило всех людей по убыванию количества съеденных конфет (например, победитель съел больше всего конфет, а человек, занявший последнее место, съел меньше всего конфет). Известно, что: • победитель съел в 14 раз меньше, чем все остальные участники вместе взятые; • участник, занявший третье место, съел в 20 раз меньше, чем все остальные участники вместе взятые; • участник, занявший последнее место, съел в 21 раз меньше, чем все остальные участники вместе взятые. Сколько сладкоежек участвовало в состязании?

23)На острове живёт 23 рыцаря и 200 лжецов; имена всех жителей различны. Знающий об этом приехавший турист попросил каждого из 223 жителей написать на листке 200 имён лжецов. Каждый рыцарь написал верно 200 имён лжецов, а каждый лжец написал произвольный список из 200 имён, в котором точно нет его собственного имени. Какое наибольшее количество лжецов турист сможет гарантированно определить по этим данным?

24)В спортивной школе занимается 55 человек, каждый из которых либо теннисист, либо шахматист. Известно, что нет четырёх шахматистов, которые имели бы поровну друзей среди теннисистов. Какое наибольшее количество шахматистов может заниматься в этой школе?

25)На окружности по часовой стрелке расположены точки A, B, C, D, E, F, как изображено на рисунке. Хорды AD и CE пересекаются в точке X под прямым углом, хорды AD и BF пересекаются в точке Y. Известно, что CX = 12, XE = 27, XY = 15, BY = 9, YF = 11.

27)Все вершины правильного тетраэдра ABCD находятся по одну сторону от плоскости α. Оказалось, что проекции вершин тетраэдра на плоскость α являются вершинами некоторого квадрата. Найдите значение величины AB2 , если известно, что расстояния от точек A и B до плоскости α равны 17 и 21 соответственно.

Другие олимпиады муниципального этапа ВСОШ 2021-2022

Муниципальный этап 2021-2022 всероссийской олимпиады школьников задания и ответы

Олимпиада по математике 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 класс ответы и задания муниципального этапа 2021-2022 всероссийской олимпиады школьников ВСОШ для Республики Татарстан, официальная дата проведения олимпиады 7 декабря 2021 год.

Задания олимпиады по математике муниципальный этап 2021

1)У Коли и Кати есть ёлочные игрушки, в сумме у них 96 ёлочных игрушек. Коля отдал 15 своих игрушек Кате, и у них стало игрушек поровну. Сколько игрушек было у Кати изначально?

2)Расставьте в некоторых (можно во всех) промежутках между цифрами 7 1 2 2 0 2 1 знаки арифметических действий («+», «−», «×», «÷») так, чтобы значение получившегося выражения равнялось 13. Можно использовать скобки. В ответ запишите всё выражение целиком.

3)Из числа 6437051928 вычеркните 5 цифр так, чтобы полученное пятизначное число
было самым большим из возможных.

4)Кате подарили на день рождение цветы. Когда ее спросили, сколько цветов она
получила, Катя ответила: «Я получила 11 роз — красные и желтые, и красные и желтые гвоздики.
Красных цветов всего 16, из них 7 роз. Общее количество гвоздик на один больше общего числа
красных цветов». На сколько желтых роз меньше, чем желтых гвоздик?

5)Цифровые часы отображают время в 24-х часовом формате ЧЧ:ММ, например, 17:03. Сколько минут в день на дисплее отображается цифра 5?

6)В магазине плюшевых игрушек продаются кенгуру трех видов — мама-кенгуру, папакенгуру и кенгурята. Всего 100 игрушек кенгуру. У каждой игрушки мама-кенгуру в сумке по три кенгуренка, а у папы-кенгуру и у кенгурят сумки пустые. Сколько в магазине игрушек папакенгуру, если в магазине 77 кенгуру с пустыми сумками?

7)Дети выстроились в круг, а потом посчитались, начиная с Васи. Коля был пятым и стоял напротив Тани, которая была тринадцатой. Сколько детей выстроилось в круг?

8)Вася и Петя решили изготавливать свечки. Воск, растопленный в большом горшке, ребята разливают по подготовленным формам. Из каждой формы вынимают по пять свечей и, очищая форму от остатков воска, получают материал для изготовления еще одной свечи. Все остатки ребята снова переплавляют и, как и раньше, производят новые свечи. Эта процедура повторяется до тех пор, пока есть возможность заполнить воском полностью всю форму. Во время первой плавки Вася и Петя использовали весь воск, разлив его по имеющимся формам, и сделали 360 свечей, а все остатки воска сложили в горшок и из него решили сделать вторую плавку. Сколько свечей сделали Петя и Вася при второй плавке?

9)В магазине «Спорт+сад» продаются трехколесные и четырехколесные велосипеды. Вовочка насчитал, что всего в магазине 78 колес, а Петенька насчитал, что всего 23 велосипеда. Сколько в магазине трехколесных велосипедов?

10)Ученики класса имеют возможность принять участие в трех различных соревнованиях по легкой атлетике. Каждый ученик должен принять участие по крайней мере в одном соревновании. В классе 22 ученика выбрали спринтерскую гонку, 13 учеников пошли на прыжки в длину, и 15 учеников приняли участие в соревнованиях по стрельбе. Кроме того, известно, что 8 учеников выбрали спринтерскую гонку и прыжки в длину, 7 учеников выбрали спринтерскую гонку и стрельбу, и 6 учеников сделали выбор в пользу прыжка в длину и стрельбы. Также есть 3 очень амбициозных ученика, которые приняли участие во всех трех соревнованиях. Сколько учеников в классе?

11)Вася расставил числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 (каждое используется по одному разу) в кружочки так, что сумма чисел в шестиугольнике и в пятиугольнике равнялась 24. Какое число могло стоять в сером кружочке? Укажите все варианты ответов через запятую.

12)В лесу растет три вида деревьев: береза, дуб и ясень. Лесник решил пронумеровать все деревья в лесу натуральными числами, начиная с 1. Чтобы написать одну цифру, леснику требуется 10 грамм краски. Определите количество деревьев в лесу, если было использовано 3 банки с краской, каждая из которой содержит 15 кг 350 гр краски.

13)Аделя и Марина договорились встретиться в 7:30 перед школой. Аделя думала, что ее часы спешат на 3 минуты, но на самом деле они опаздывают на 6 минут. Марина думала, что ее часы опаздывают на 6 минут, но на самом деле они спешат на 3 минуты. Во сколько Аделя пришла на встречу, если обе девочки думали, что пришли ровно в 7:30?

14)Вася и Петя едут в длинном поезде в двух вагонах. Если Вася пойдет до первого вагона поезда, то он побывает в пяти вагонах (не считая свой). Если Петя пойдет к концу поезда, то он побывает в восьми вагонах (не считая свой). Если Вася пойдет в вагон к Пете, то он побывает в трех вагонах (не считая свой, но считая Петин). Сколько вагонов может быть в поезде? Укажите все варианты ответов.

15)У Пети есть робот и пульт, с помощью которого он может им управлять. На пульте управления есть три кнопки. Одна кнопка перемещает робота на 1 шаг вперед, другая кнопка перемещает его на 2 шага вперед, а третья кнопка перемещает его на 3 шага вперед. Сколько разных способов есть у Пети, чтобы переместить робота на 5 шагов вперед?

16)У Кати есть 5 коробок, каждая коробка содержит только зеленые или только красные шарики. Количество шариков в пяти коробках — 110, 105, 100, 115 и 130. Катя одну коробку
подарила подруге. После этого количество зеленых шариков в оставшихся у нее в четырех коробках стало в 3 раза больше количества красных шариков в оставшихся у нее коробках. Сколько
шариков Катя подарила подруге?

17)Шесть детей — Антон, Боря, Вася, Гоша, Дима и Елисей стоят в очереди за булочками. Боря и Дима стоят рядом с друг другом, Вася и Гоша тоже стоят рядом с друг другом. Между Гошей и Елисеем ровно 2 человека, между Антоном и Борей тоже ровно 2 человека, а между Антоном и Гошей 1 человек. Елисей стоит раньше Бори, но позже Васи. Кто может стоять пятым в очереди? Укажите все варианты ответов через запятую.

18)Мария Петровна пишет на доске несколько различных чисел, после чего ученики у себя в тетради должны записать все возможные суммы пар чисел, что есть на доске, причем если какое-то число получается несколько раз, то его нужно записать только 1 раз. Например, если Мария Петровна запишет числа 1, 2, 6, 7, то ученики должны записать у себя в тетрадях 3, 7, 8, 9, 13. Мария Петровна записала на доске 5 чисел. Какое максимальное количество чисел дети могут записать в своих тетрадях?

19)Доктор Пилюлькин прописал Незнайке 3 вида таблеток: от грусти, от печали и от тоски. Таблетки от грусти надо принимать каждый третий день, от печали — каждый пятый день, а от тоски — каждый седьмой день. Так как у Незнайки было плохое настроение, то он выпил все три таблетки 1 декабря и после этого стал соблюдать режим приема таблеток (то есть, 4 декабря он выпил таблетку от грусти, 6 декабря — от печали и т.д.). Доктор Пилюлькин сказал, что прием таблеток нужно будет прекратить, после того, как два приема таблеток подряд Незнайка примет по две таблетки. Когда Незнайка в последний раз примет таблетки? В ответе нужно указать дату. (В декабре 31 день).

20)Люций и Максим участвуют в круговой гонке. Гонщики едут с постоянной скоростью всю гонку. За то время, что Люций проезжает 18 кругов, Максим проезжает 16 кругов. Сколько кругов проедет Люций за то время, что Максим проедет 56 кругов?

21)В велогонке «Tour de Казань» приняли участие команды из шести человек. На первом этапе никто не выбыл из гонки. На втором этапе после массового падения выбыли 17 велосипедистов, а на каждом последующем этапе выбывало на три велосипедиста меньше, чем на предыдущем этапе. Финиш седьмого заключительного этапа пересекли 57 велосипедиста. Сколько команд приняли участие в гонке?

22)Расставьте в некоторых (можно во всех) промежутках между цифрами 7 1 2 2 0 2 1 знаки арифметических действий («+», «−», «×», «÷») так, чтобы значение получившегося выражения равнялось 31. Можно использовать скобки. В ответ запишите всё выражение целиком.

23)Автомобиль «Ока» длиной 3 метра преследует грузовик длиной 17 метров. «Ока» движется с постоянной скоростью 30 м/с, а грузовик движется с постоянной скоростью 25 м/с. Сколько секунд потребуется «Оке» на обгон грузовика? Начало обгона считается с того момента, когда передняя часть «Оки» окажется на одном уровне с задней частью грузовика, до момента, когда передняя часть грузовика окажется на уровне задней части «Оки».

24)Аделя и Марина договорились встретиться в 7:30 перед школой. Аделя думала, что ее часы спешат на 4 минуты, но на самом деле они опаздывают на 8 минут. Марина думала, что ее часы опаздывают на 8 минут, но на самом деле они спешат на 4 минуты. Кто из девочек пришел раньше и сколько минут ждал подружку, если они обе думали, что пришли ровно в 7:30? Ответ дать в формате «Имя девочки, время ожидания».

25)Вжик, Чип и Дейл запасаются орехами, грибами и еловыми шишками на зиму. У каждого в сумме одинаковое количество предметов в запасе. У Чипа орехов вдвое больше, чем у Вжика. У Дейла на 20 орехов больше, чем у Вжика. Грибов у каждого по 48 штук. В сумме у них 180 шишек и 180 орехов. Сколько шишек у Чипа?

26)Общий вес трёх уток и двух утят составляет 11 килограммов, общий вес четырех уток и трех утят составляет 15 килограммов. Каков общий вес в килограммах двух уток и одного утенка? Все утки весят одинаково и все утята весят одинаково, но утка и утенок весят не одинаково.

27)Вася и Петя решили изготавливать свечки. Воск, растопленный в большом горшке, ребята разливают по подготовленным формам. Из каждой формы вынимают по 5 свечей и, очищая форму от остатков воска, получают материал для изготовления еще 1 свечи. Все остатки снова переплавляются и, как и раньше, производятся новые свечи. Мальчики повторяют эту процедуру до тех пор, пока есть возможность заполнить воском всю форму. Во время первой плавки Вася и Петя использовали весь воск и сделали 360 свечей, а все остатки из воска сложили в горшок и из него решили сделать вторую плавку, затем третью и так далее, пока была возможность делать свечи. Сколько свечей они сделали всего?

28)В книжном магазине Тане понравились 4 книги, но для покупки всех книг Тане не хватало 200 рублей. Она заметила, что если купит три книги, без первой, то у нее останется 450 рублей, если все без второй, то останется 530 рублей, если все без третьей — то 390 рублей, и если все без четвертой — то 490 рублей. Сколько денег было у Тани?

29)В школе учатся мальчики и девочки. Средний возраст мальчиков отличается от среднего возраста девочек, но среднее этих двух чисел совпадает со средним возрастом всех школьников. Кого в школе больше — мальчиков или девочек?

30)Точки O и I — центры описанной и вписанной окружностей треугольника ABC, M — середина дуги AC описанной окружности (не содержащей B). Известно, что AB = 15, BC = 7 и MI = MO. Найдите AC.

31)Найдите все пары натуральных чисел a и b такие, что 3 a + 4b является квадратом целого числа.

32)Даны n различных положительных чисел. Из них составляются суммы c любым числом слагаемых от 1 до n. а) Какое наименьшее количество различных сумм можно получить? б) Какое наибольшее количество различных сумм можно получить?

33)В школе учатся мальчики и девочки. Средний возраст мальчиков отличается от среднего возраста девочек, но среднее этих двух чисел совпадает со средним возрастом всех школьников. Кого в школе больше — мальчиков или девочек?

34)На доске в строчку написаны двадцать троек. Поставив между некоторыми из них знак «+», Вася обнаружил, что сумма равна 600. Сколько плюсов поставил Вася?

35)Верно ли, что при любых a, b и c хотя бы одно из уравнений ax2 + 2bx + c = 0, bx2 + + 2cx + a = 0, cx2 + 2ax + b = 0 имеет решение?

36)В школьном турнире по шахматам соревновались мальчики и девочки, причём мальчиков было в 5 раз больше, чем девочек. По правилам турнира каждый шахматист играл с каждым другим дважды. Сколько всего игроков принимали участие, если известно, что мальчики набрали в сумме ровно в два раза больше очков, чем девочки? (За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков.)

37)Угол A ромба ABCD равен 60◦ . Прямая, проходящая через точку C, пересекает отрезок AB в точке M и прямую AD — в точке N. Докажите, что угол между прямыми MD и NB равен 60◦ .

38)Число 400 разделили на четыре части так, что если к первой части прибавить 1, от второй отнять 2, третью умножить на 3, а четвёртую разделить на 4, то все результаты будут равными. На какие части разделили число 400?

39)В школе учатся мальчики и девочки. Средний возраст мальчиков отличается от среднего возраста девочек, но среднее этих двух чисел совпадает со средним возрастом всех школьников. Кого в школе больше — мальчиков или девочек?

40)Точки O и I — центры описанной и вписанной окружностей треугольника ABC, M — середина дуги AC описанной окружности (не содержащей B). Известно, что AB = 15, BC = 7 и MI = MO. Найдите AC.

Другие ответы и задания для муниципального этапа 2021-2022

Муниципальный этап 2021 Республика Татарстан задания и ответы всероссийская олимпиада школьников