Основанные на геометрии задачи о трапеции
Задача 1
В прямоугольной трапеции ABCD сумма длин оснований AD и BC равна её высоте АВ.
В каком отношении делит боковую сторону CD биссектриса угла АВС?
Задача 2
В трапеции ABCD с основаниями BC и AD угол DAB прямой.
Известно, что на стороне CD существует единственная точка M такая, что угол BMA прямой.
Докажите, что
Задача 3
ABCD — равнобедренная (равнобокая) трапеция с основаниями AD и BC, а BCDE — равнобедренная трапеция с основаниями CD и BE.
Докажите, что
Задача 4
В трапеции ABCD боковая сторона AB равна диагонали AC.
На меньшей дуге AD описанной окружности треугольника ABD выбрана точка E так, что AB = AE.
Найдите
Задача 5
Около окружности радиуса 6 описана равнобочная трапеция.
Найдите площадь трапеции, если известно, что площадь четырехугольника, вершинами которого служат точки касания окружности и трапеции, равна 48.
Задача 6
Косинус угла между боковыми сторонами AD и BC трапеции ABCD равен 0,8.
В трапецию вписана окружность, причем сторона AD делится точкой касания на отрезки длины 1 и 4.
Определите длину боковой стороны BC трапеции.
Задача 7
Дана равнобедренная описанная трапеция ABCD.
CD — меньшее основание, H — основание перпендикуляра, опущенного из точки C на AB.
Докажите, что биссектриса угла A пересекает отрезок CH.
Задача 8
В равнобедренной трапеции MNKL с основаниями ML,NK диагонали перпендикулярны сторонам MN,KL и пересекаются под углом
Найдите высоту трапеции, если длина
где Q — середина большего основания.
Задача 9
В трапеции ABCD на основаниях AD = 17 и BC = 9 отмечены точки E и F соответственно так, что MENF — прямоугольник, где M и N — середины диагоналей трапеции.
Найдите длину отрезка EF.
Задача 10
В трапеции ABCD на основаниях AD = 23 и BC = 13 отмечены точки E и F соответственно так, что MENF — прямоугольник, где M и N — середины диагоналей трапеции.
Найдите длину отрезка .
Задача 11
На основании AD трапеции ABCD отмечена точка E.
Известно, что
Докажите, что треугольник BCE — равнобедренный.
Задача 12
Угол между диагоналями трапеции равен 60°.
Докажите, что сумма длин боковых сторон не меньше, чем длина большего основания.
Задача 13
Высота трапеции ABCD равна 5, а основания BC и AD соответственно равны 3 и 5.
Точка E находится на стороне BC, причем
Задача 14
Сумма острых углов трапеции равна 90°, высота равна 2 см, а основания — 12 и 16 см.
Найти произведение боковых сторон трапеции.
Задача 15
Около окружности с диаметром 15 см описана равнобедренная трапеция с боковой стороной, равной 17 см.
Найти основания трапеции.
Задача 16
Около окружности радиуса 5 см описана равнобедренная трапеция.
Расстояние между точками касания ее боковых сторон равно 8.
Найти площадь трапеции.
Определение угла в трапеции
Задача
Меньшее основание равнобедренной трапеции равно боковой стороне, а диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найдите больший угол трапеции. Ответ дайте в градусах.
Решение
Пусть угол между основанием и боковой стороной равен x градусов. Так как трапеция равнобедренная, то угол между диагональю и боковой стороной также равен x градусов.
Сумма углов в любом четырехугольнике равна 360 градусов.
Таким образом, в данной трапеции один из углов равен 180 – x градусов, так как диагональ является перпендикуляром к боковой стороне.
Чтобы найти больший угол трапеции, сложим два острых угла, которые равны значению x. Получим 2x градусов.
Таким образом, больший угол трапеции равен 2x градусов.
Поиск точек пересечения прямых
Задача
В трапеции ABCD точки K, N принадлежат отрезку BC, при этом BK = KN = NC = 1, а точки P, Q принадлежат отрезку AD, где AP = PQ = QD = 2. Прямые BC и AD параллельны. Точка K соединена с точками A, P, Q, D. Точка P соединена с точками B, K, N, C. Докажите, что точки пересечения прямых BP и AK, KQ и PN, KD и PC лежат на одной прямой. Найдите длину отрезка этой прямой между боковыми сторонами трапеции.
Решение
Доказательство того, что точки пересечения прямых BP и AK, KQ и PN, KD и PC лежат на одной прямой, можно провести с использованием теоремы о пучке прямых.
Чтобы найти длину отрезка прямой между боковыми сторонами трапеции, расмотрим геометрическую конфигурацию данной задачи.
Таким образом, точки пересечения прямых будут лежать на одной прямой, проходящей между боковыми сторонами трапеции.
Нахождение угла в трапеции
Задача
В прямоугольной трапеции ABCD, где сторона BC параллельна основанию AD, угол A равен 60°. На стороне CD выбирается точка K так, что BK = 2BC, при этом AD = CD. Биссектриса пе…
Решение
…
Боковая сторона равнобедренной трапеции равна c. Диагональ длины l делит площадь трапеции в отношении 3 : 5\. Найти основания трапеции.
В трапеции одна боковая сторона вдвое больше другой, а сумма углов при большем основании равна 120 градусов. Найти углы трапеции.
Найдите длину отрезка, параллельного основаниям трапеции с длинами a и b и проходящего через точку пересечения ее диагоналей.
Известно, что средняя линия четырехугольника равна полусумме не пересекающихся с ней сторон. Докажите, что этот четырехугольник — трапеция.
Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки плоскости до трех вершин равнобедренной трапеции больше расстояния от этой точки до четвертой вершины.
Точка O — точка пересечения диагоналей AC и BD трапеции, стороны AD и BC которой параллельны. Докажите, что площади треугольников AOB и COD равны.
Точки E и F являются серединами оснований AD и BC трапеции ABCD. Оказалось, что AC = 8 см, BD = 6 см и EF = 5 см. Найдите площадь трапеции ABCD в квадратных сантиметрах.
Окружность, проходящая через вершины B, C, D трапеция ABCD
пересекает сторону AB в точке E. Через точку B проведена прямая, параллельная DE. Эта прямая пересекает сторону CD в точке F. Докажите, что четырехугольник ABFD — вписанный.
Дана прямоугольная трапеция ABCD c прямым углом A
Известно, что BC = 1, AD = 4\. На стороне AB отмечена точка X, а на стороне CD — точка Y так, что XY = 2,
Докажите, что описанная окружность треугольника XCD касается AB.
Диагонали трапеции ABCD
пересекаются в точке O. На AB отметили точку E такую, что прямая EO параллельна основаниям трапеции. Оказалось, что EO — биссектриса угла CED. Докажите, что трапеция — прямоугольная.
В трапеции KLMN известны основания KN = 25, LM = 15 и боковые стороны KL = 6, MN = 8\. Найдите длину отрезка, соединяющего середины оснований трапеции.
В трапеции, диагонали которой пересекаются под прямым углом известно, что средняя линия равна 6,5, а одна из диагоналей равна 12\. Найдите вторую диагональ.
В трапеции известны длины диагоналей — 6 и 8, а также длина средней линии — 5\. Найдите высоту трапеции.
В трапеции ABCD с основаниями AD и BC известен угол BCD, равный угол 120°. В этот угол вписана окружность радиуса 1, проходящая через точки A, B и D. Найдите площадь треугольника ABD.
Средняя линия трапеции равна 4\. Прямая, параллельная основаниям трапеции и делящая ее площадь пополам, пересекает боковые стороны в точках M и N. Найти наименьшую возможную длину отрезка MN.
### Точка N делит диагональ AC трапеции ABCD в отношении CN : NA = 2\. Длины оснований BC и AD трапеции относятся как 1 : 3\.
Через точку N и вершину D проведена прямая, пересекающая боковую сторону AB в точке M. Какую часть площади трапеции составляет площадь четырехугольника MBCN?
Известно, что в трапеции с углом 30° при основании можно вписать окружность и описать вокруг нее окружность. Найти отношение площади трапеции к площади вписанного в нее круга. Найти отношение площади трапеции к площади описанного вокруг нее круга.
#### Утверждения
Какие из перечисленных утверждений являются верными?
- Произвольную трапецию всегда можно вписать в окружность.
- Равнобедренную трапецию всегда можно вписать в окружность.
- Трапецию можно вписать в окружность, если ее средняя линия равна полусумме боковых сторон.
- Среди перечисленных ответов нет верного.
Трапеция ABCD вписана в окружность. Её основание AB в 3 раза больше основания CD. Касательные к описанной окружности в точках A и C пересекаются в точке K. Доказать, что угол KDA прямой.
Равнобокая трапеция ABCD с основаниями AD и BC вписана в окружность с центром O. Прямая BO пересекает отрезок AD в точке E. Пусть O1 и O2 - центры описанных окружностей треугольников ABE и DBE соответственно. Доказать, что точки O1, O2, O и C лежат на одной окружности.
Диагонали трапеции RSQT с основаниями RS и QT пересекаются в точке A под прямым углом. Известно, что основание RS больше основания QT и угол R прямой. Биссектриса угла RAT пересекает RT в точке U, а прямая, проходящая через точку U параллельно RS, пересекает прямую SQ в точке W. Доказать, что
В равнобедренной трапеции проведена диагональ. По контуру каждого из получившихся двух треугольников ползет свой жук. Скорости движения жуков постоянны и одинаковы. Жуки не меняют направления обхода своих контуров, и по диагонали трапеции они ползут в разных направлениях. Доказать, что при любых начальных положениях жуков они когда-нибудь встретятся.
*(П. А. Бородин)*
###
Основания трапеции ABCD связаны соотношением
Перпендикуляры, восстановленные в точках M и N к боковым сторонам трапеции, пересекаются в точке O. Найдите AD, если
Основания AB и CD трапеции ABCD равны 55 и 31 соответственно, а ее диагонали взаимно перпендикулярны. Найти скалярное произведение векторов
Основания AB и CD трапеции ABCD равны 367 и 6 соответственно, а ее диагонали взаимно перпендикулярны. Найти скалярное произведение векторов
На боковой стороне CD трапеции ABCD отмечена такая точка P, что, возвращаясь к
*Russian translation provided by translation services*
Через эту точку проведена прямая, параллельная AB, которая пересекает AD в точке R. Найдите площадь треугольника ABR, если площадь ABCD равна 80, a BC = RD.
In a space there are four pairwise unequal and pairwise parallel segments AiBi, i = 1, 2, 3, 4\. Prove that the intersection points of the extensions of the side edges of the six trapezoids AiBiAjBj
В пространстве даны четыре попарно неравных и попарно параллельных отрезка AiBi, i = 1, 2, 3, 4\. Докажите, что точки пересечения продолжений боковых сторон шести трапеций AiBiAjBj
лежат в одной плоскости.
Основания AB и CD трапеции ABCD равны 15 и 19 соответственно. Пусть AH и BG — высоты на прямую DC, CF — высота на прямую AB. Точки K, L, M, N — середины отрезков AB, CF, CD и AH соответственно. Найдите отношение площади трапеции ABCD к площади четырехугольника KLMN, если DG = 17.
Дана трапеция ABCD с основаниями AB и CD, углами
Найдите ACB, если известно, что DB — биссектриса угла D.
В равнобедренной трапеции ABCD точка H на основании AD такова, что BH — высота. Оказалось, что углы BHC и A равны. Известно, что AH = 5, CH = 6\. Найдите DH.
Дана трапеция ABCD с прямым углом A и основаниями BC = 144 и AD = 225\. На боковой стороне AB, как на диаметре, построена окружность с центром в точке O, касающаяся стороны CD в точке K. Прямые OK и BC пересекаются в точке L. Найдите длину отрезка CL.
В трапеции ABCD длины диагонали BD и основания BC равны. Точка X на луче BD такова, что BX = CX. На прямой CX взята точка Y такая, что AB = BY. Известно, что
Найдите градусную меру угла BYC.
Докажите, что точки пересечения биссектрис противоположных углов трапеции вместе с концами любого из её оснований лежат на одной окружности.
ABCD — трапеция с основанием AD и
Точки A' и B' симметричны точкам A и B относительно прямой CD, а точки C' и D' симметричны точкам C и D относительно прямой AB. Докажите, что A'B'C'D' — трапеция.
Завершить работу, свериться с ответами, увидеть решения.
## Лассы2023-2024 учебный год
Олимпиада Юношеской математической школы
Университетская олимпиада школьников «Бельчонок»
Всероссийская олимпиада школьников по математике
Олимпиада школьников «Ломоносов»
Ожидается в октябре 2023
Варианты прошлых лет
Международный конкурс "Лисенок"
Конкурс по решению головоломок «Выход есть!» 6-99 лет
Олимпиада начальной школы Дважды Два
Олимпиада пятиклассников Дважды Два
Олимпиада«Формула Единства» / «Третье тысячелетие»
Турнир им. М.В. Ломоносова
Олимпиада "Покори Воробьевы горы!"
Олимпиада "Я люблю математику"
 
