Официальный сайт Сириус. ВОШ. 2021 – 2022 учебный год. Открытый банк заданий. ВСОШ. ВПР. ФИПИ ШКОЛЕ. ФГОС. ОРКСЭ. МЦКО. ФИОКО. ОГЭ. ЕГЭ. Школа России. 21 век. ГДЗ. Решебник. Перспектива. Школа 2100. Планета знаний. Россия. Беларусь
Олимпиады школьников пройдет для учеников 3-10 классов. Олимпиада поможет ребятам познакомиться с новыми задачами, расширить кругозор, определить для себя самый интересный предмет.
Олимпиада была организована Образовательным центром «Сириус» и Департаментом образования и науки г. Москвы при поддержке тематической площадки «Образование» Общероссийского народного фронта.
Олимпиада Сириус 2021 – 2022. Задания, ответы, решения и результаты. Официальный сайт.
Выразите числа 5, 30 и 55, используя четыре цифры 5, знаки арифметических действий и скобки.
В гимназии 33 учебных кабинета, в 2/3 кабинетах стоят по 12 парт, в остальных по 13. Около каждой парты стоит по 2 стула. 50% всех стульев имеют по 3 ножки, остальные по 4. Каждая парта, кроме 7, имеет по 4 ножки, а эти 7 парт по 6. Столько всего ножек у парт и стульев в учебных кабинетах гимназии?
Нюша , Бараш, Копатыч и Лосяш играли с мячами синим, зелёным, жёлтым и красным. Каким из мячей играл каждый из них, если мяч Бараша не синий, у Нюши не синий и не красный, а у Копатыча желтый мяч?
В сказочном озере плавает сказочная лилия. Эта лилия за сутки вдвое увеличивает свои размеры и полностью заполняет озеро за 137 суток. За какое время заполнят озеро две сказочные лилии?
Задуманное число добавили к числу, большему его на единицу. Затем из суммы вычли число, на единицу меньшее задуманного. В итоге получилось 23. Какое число было задумано?
Какое наименьшее 10-значное число можно получить, по-разному записывая шесть чисел 315, 41, 6, 7, 63 и 2 одно за другим?
Две бутылки A и B заполнены водой. Сначала 1/4 воды из A перелили в B , а затем 1/3 воды из B перелили в A, после чего количество воды в них сравнялось. Найдите первоначальное отношение количества воды в этих бутылках.
В некотором месяце три воскресенья пришлись на чётные числа. Каким днём недели могло быть 22 число этого месяца?
Оттолкнувшись левой ногой, Кенгуру прыгает на 2 метра, правой – на 4, а обеими – на 7. Какое наименьшее число таких прыжков нужно сделать, чтобы набрать в точности 300 метров?
Найдите натуральное число N , для которого N+53 и N-36 –полные квадраты.
Из квадрата со стороной 100 вырезали квадрат со стороной 80. Оставшийся кусок разрезали на единичные квадратики, из которых Павел хочет сложить новый квадрат. Чему будет равна его сторона?
Девочка заменила каждую букву в своём имени её номером в русском алфавите и получила 2011533. Как её зовут?
Задача № 13
В букете 11 цветов, причём 5 из них – красные, а 6 – розы. Какое число белых гвоздик может быть в букете?
Задача № 14
Какое наименьшее 10-значное число можно получить, по-разному записывая шесть чисел: 316, 21, 6, 7, 83, 3 – одно за другим?
Задача № 15
В некотором месяце три понедельника пришлись на нечётные числа. Каким днём недели могло быть 21 число этого месяца?
Задача № 16
Оттолкнувшись левой ногой, Заяц прыгает на 40 сантиметров, правой – на 50, а обеими – на 95. Какое наименьшее число таких прыжков нужно сделать, чтобы набрать в точности 300 метров?
Задача № 17
Из квадрата со стороной 100 тетрадных клеточек вырезали квадрат со стороной 80. Оставшийся кусок разрезали на единичные квадратики (это можно сделать), из которых Андрей хочет сложить новый квадрат. Чему будет равна его сторона?
Задача № 18
Вычислите: 1. 180 * 94 – 47700 : 45 + 4946 2. 86 * 170 – 5793 + 72800 : 35
Задача № 19
Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 4м, 3м и 5м.
Задача № 20
Найдите площадь поверхности и объём куба, ребро которого равно 6дм. Во сколько раз уменьшится площадь поверхности и во сколько раз – объём куба, если его ребро уменьшить вдвое?
Найдите значение выражения 3а + 4 при а = 30.
А) 210; В) 94; С) 64; D) 34; Е) 124.
Распределительное свойство умножения относительно сложения:
А) a • b = b • a; B) a + b = b + a; C) (a + b) + c = a + (b + c); D) (a + b) • c = a • c + b • c; E) (a • b) • c = a • (b • c).
Используя переместительное и сочетательное свойства сложения,
А) x + 70; B) 12x + 58; C) x + 46; D) 58x + 12; E) 70x.
Используя переместительное и сочетательное свойства умножения,
упростить: 11 • х • 30.
A) 41x; B) 330 + x; C) 330x; D) 300x; E) 19x.
Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число можно к первому числу прибавить
A) третье и вычесть второе; В) второе и вычесть третье; С) произведение второго и третьего чисел; D) разность второго и третьего чисел; Е) сумму второго и третьего.
Используя распределительное свойство умножения, запишите в виде разности:
А) 10х + 350; B) 45x; C) 350 – x; D) 10х – 350; E) x – 350.
Так как (a + b) • c = a • c + b • c, то выражение a • c + b • c можно записать в виде:
(a + b) • c или c • (a + b).
Представьте выражение в виде произведения: 18а + 9.
A)9 • (2а + 1); B) 18 • (а + 1); C) 9 • (2а-1); D) 27а; E) 27 • (а + 1).
Что означает найти все его корни или убедиться, что корней нет.
А) решить неравенство; В) решить уравнение; С) упростить выражение; D) решить пример; Е) решить задачу.
Числа при вычитании: уменьшаемое, вычитаемое и разность. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть
А) слагаемое; В) вычитаемое; С) число 10; D) известное частное; Е) разность.
Решить уравнение: 25х + 52 = 102.
A) нет решений; B) 4; C) 2; D) 5; E) 3.
Варианты заданий с решением и ответами :
Официальный сайт. 2022 – 2023 учебный год. Официальный сайт. МОШ. ВОШ. ВСОШ. КИМ. Открытый банк заданий. Взлет. ВПР. РП. ФИПИ ШКОЛЕ. ДНР. ФГОС. ОРКСЭ. МЦКО. ФИОКО. ЕГЭ. ЕГЭ. ПНШ. ДОУ. УМК. Просвещение. Ответы. ГДЗ. Решебник. Школа России. Школа 21 век. Перспектива. Школа 2100. Планета знаний. Россия. Беларусь. ЛНР. Казахстан. РБ. Татарстан. Башкортостан
В 2022 году школьный этап Всероссийской олимпиады по математике, информатике, физике, химии, биологии и астрономии для школьников 4−11 классов на платформе «Сириус.Курсы» пройдет 27 сентября–28 октября согласно графику проведения.
Организационными координаторами олимпиады в субъектах РФ выступают региональные центры, созданные по модели Образовательного центра «Сириус», или определенные региональными министерствами просвещения организации. Все участвующие регионы разбиты на 4 группы, в том числе по территориальному принципу. Для каждой группы по каждому предмету для обеспечения максимально качественного и объективного проведения состязания будет разработан свой комплект заданий.
Впервые школьный этап в онлайн-формате Образовательный центр «Сириус» провел в 2020/21 учебном году. Уже в следующем учебном году в шести турах олимпиады участниками стали более 2,5 миллионов школьников из 65 субъектов Российской Федерации. Ожидается, что в 2022/23 учебном году к олимпиаде присоединятся 77 регионов.
Олимпиадные задания с ответами прошлых лет
Олимпиада Сириус Астрономия . Задания, ответы
Олимпиада Сириус Информатика . Задания, ответы
Олимпиада Сириус Биология . Задания, ответы
Олимпиада Сириус Химия . Задания, ответы, решения
Олимпиада Сириус Физика . Задания, ответы
Олимпиада Сириус Математика . Задания, ответы
Решения задач школьной олимпиады по математике (с критериями проверки).
Здесь представлены возможные варианты решения задач школьной олимпиады по математике, проводимой 21, 22.10.2014 года в школах Красногвардейского района, а также критерии их проверки. Практически всегда, решения учащихся отличаются от предложенных, – это, так называемые, “авторские” решения, поэтому критерии являются больше рекомендациями, чем предписанием. В каждом классе предлагается пять задач на решение которых отводится 90 минут и оцениваются они максимальным количеством баллов – 7.
Школьная олимпиада по математике в 6 классе.
(Рассчитана на 90 минут)
На скотном дворе гуляли гуси и поросята. Мальчик сосчитал количество голов, их оказалось 30, а затем он сосчитал количество ног, их оказалось 84. Сколько гусей и сколько поросят было на школьном дворе? 1 – Представьте, что все поросята подняли по две ноги вверх тогда на земле осталось стоять 30 ∙ 2 = 60 ног.2 – А сколько тогда подняли вверх 84 – 60 = 24 ноги – это ноги поросят, значит их подняли 24 : 2 = 12 поросят3 – Так как голов 30, то 30 – 12 = 18 гусей. 12 поросят и 18 гусей.
В детском магазине продают трехколесные и двухколесные велосипеды, причем и тех и других поровну.Сколько колес может быть у всех этих велосипедов вместе: 1) 16; 2) 24; 3) 25; 4) 28; 5) 33 ? Надо сложить между собой количество колес двух видов велосипедов, так как нужно сравнивать кратность общего числа колес велосипедов к количеству суммы колес двух видов:3 + 2 = 53 – это количество колес трехколесного велосипеда, 2 – это количество колес двухколесного велосипеда. Далее рассуждаем так: если количество велосипедов одинаковое (и 2-х и 3-х колесных), то общее число колес должно делится на 5 обязательно без остатка. – при варианте 1) 16 : 5 = 3 (остаток 1).- при варианте 2) 24 : 5 = 4 (остаток 4) – то есть опять остались лишние колеса.- при варианте 3) 25 : 5 = 5 . Без остатка – значит вариант подходит, – при варианте 4) 28 : 5 = 5.(в остатке 3 колеса) – не подходит, – при варианте 5) 33 : 5 = 6 (остаток 3). Правильный вариант ответа 3), так как 25 делится на 5 без остатка (25 : 5 = 5).
Назовем число зеркальным, если слева направо оно «читается» так же, как справа налево. Например, число 12321 – зеркальное. а) Напишите какое-нибудь зеркальное пятизначное число, которое делится на 5. б) Сколько существует пятизначных зеркальных чисел, которые делятся на 5?
а) Зеркальное пятизначное число должно иметь вид ABCBA. Раз оно делится на 5, значит, последняя цифра либо 5, либо 0. Но 0 не подходит, поскольку первая цифра (которая равна последней) не может быть 0. Значит, число имеет вид 5BCB5. Например, 52325.
а) 52325; б) 100 вариантов.
Буратино и Пьеро бежали наперегонки. Пьеро весь путь бежал с одной и той же скоростью, а Буратино первую половину пути бежал вдвое быстрее, чем Пьеро, а вторую половину – вдвое медленней, чем Пьеро. Кто победил?
На вторую половину пути Буратино потратил ровно столько времени, сколько Пьеро на весь путь. А ведь сколько-то времени у Буратино ушло и на первую половину пути. Так что победил Пьеро.
Школьная олимпиада по математике в 5 классе.
Девять осликов за 3 дня съедают 27 мешков корма. Сколько корма надо пяти осликам на 5 дней? 1 шаг 9 осликов в 1 день – 27 : 3= 9м.2 шаг 1 ослик в 1 день – 9 : 9 = 1 м.3 шаг 5 осликов в 1 день – 5 ∙ 1 = 5 м. 4 шаг 5 осликов за 5 дней – 5 ∙ 5 = 25 м.
Прямоугольник состоит из двух одинаковых квадратов, имеющих общую сторону. Его периметр равен 12 см. Найдите площадь прямоугольника.
Пусть сторона квадрата равна , так как прямоугольник
состоит из двух одинаковых квадратов, то его длина равна 2а.
Р = 2∙ (2а + а) = 12, т.е. 2∙ 3а = 12, значит, а = 12 : 6 = 2 см.
Следовательно, площадь прямоугольника равна S = 2∙(2+2)=8см.
Ваня, Коля и Антон могут одинаково быстро вскопать землю лопатой.Если любые два из этих мальчиков будут работать вместе, то справятся с земельным участком за полтора часа. За какое время ребята вскопают тот же участок, если будут работать все трое вместе? Любые две мальчика справляются с уборкой за полтора часа (90 минут). Каждый из этих мальчиков вскопает одну вторую часть земельного участка. Если двое мальчиков за 90 мин копают участок, то по отдельности они вскопают в 2 раза дольше: 90 ∙ 2 = 180 минут.Нам надо узнать, за какое время они вместе втроем справятся с заданием. Вместе им придется вскопать каждому одну треть земельного участка, то есть выполнить задание в 3 раза быстрее 180 : 3 = 60 минут. втроем ребята перекопают земельный участок за 1 час.
Кенгуру мама прыгает за 1 секунду на 3 метра, а её маленький сынишка прыгает на 1 метр за 0,5 секунды. Они одновременно стартовали от бассейна к эвкалипту по прямой.Сколько секунд мама будет ждать сына под деревом, если расстояние от бассейна до дерева 240 метров? 1 шаг 240 : 3 = 80 (с) скакала мама Кенгуру 2 шаг сын за 0,5 с – 1 м, за 1 с – 2 м 3 шаг 80 * 2 = 160 (м) проскачет кенгурёнок за 80 с4 шаг 240 – 160 = 80 (м) осталось проскакать кенгурёнку когда мама уже под эвкалиптом5 шаг 80 : 2 = 40 (с)
Делимое в 6 раз больше делителя, а делитель в 6 раз больше, чем частное. Найдите делимое, делитель и частное.
– делитель, а – частное, тогда . Так как делимое в 6 раз больше делителя, то частное . А так как делитель в 6 раз больше, чем частное, то . В результате рассуждений имеем
Школьная олимпиада по математике в 7 классе.
1) В классе 28 учащихся. На классном вечере первая по алфавиту девочка класса танцевала с 3 мальчиками, вторая – с 4, третья – с 5,.., последняя – со всеми мальчиками класса. Сколько девочек учится в классе?
2) Золотоискатель Джек добыл 9 кг золотого песка. Сможет ли он за три взвешивания отмерить 2 кг песка с помощью чашечных весов с одной гирей – 200 г.?
Кладем на одну чашу весов гирю и весь песок делим на две части так, чтобы чаши весов уравновесились: 4,6 кг=4,4 кг + 0,2 кг. Далее песок со второй чаши делим на две равные части с помощью уравновешивания весов без использования гирь: 2,2 кг = 2,2 кг, ну и на последок на любую из чаш ставим гирьку и отсыпаем с этой же чаши песок до уравновешивания: 2,2 кг =2 кг +0,2 кг. Тот песок, что остался на чаше вместе с гирькой будет иметь нужную массу.
3) Ванна заполняется холодной водой за 6 минут 40 секунд, горячей – за 8 минут. Кроме того, если из полной ванны вынуть пробку, вода вытечет за 13 минут 20 секунд. Сколько времени понадобится, чтобы наполнить ванну полностью, при условии, что открыты оба крана, но ванна не заткнута пробкой?
Переведем все временные промежутки в секунды. Чтобы наполнить ванну холодной водой требуется 400 секунд, значит, за одну секунду наполняется 1/400 часть ванны. Аналогично для горячей воды. За одну секунду наполняется 1/480 часть ванны. Аналогично для спуска воды. За одну секунду выливается 1/800 часть ванны. Тогда величина равная количеству воды, пребывающей в ванну каждую секунду при условии что оба крана открыты, а пробка не заткнута определится следующим равенством: . Таким образом, потребуется пять минут, чтобы наполнить ванну.
4) В спортивной секции девочки составляют 60 % числа мальчиков. Сколько процентов от числа всех участников секции составляют девочки?
Пусть х – мальчиков в секции, тогда девочек 0,6х. Всего детей в секции х+0,6х=1,6х. Составим пропорцию: 1,6х : 100% = 0,6х : у%
у% = (100 ∙ 0,6х) : 1,6х
5) Каждый из 10 гномов либо всегда говорит правду, либо всегда лжет. Известно, что каждый из них любит ровно один сорт мороженого: сливочное, шоколадное или фруктовое. Сначала Белоснежка попросила поднять руки тех, кто любит сливочное мороженое, и все подняли руки, потом тех, кто любит шоколадное мороженое – и половина гномов подняли руки, потом тех, кто любит фруктовое мороженое – и руку поднял только один гном. Сколько среди гномов правдивых?
Из условия задачи ясно, что правдивые гномы могут любить только сливочное мороженое, а лживые — только шоколадное или фруктовое. Именно поэтому все гномы сказали, что любят сливочное. Заполним табличку — отметим, что должны говорить правдивые и лживые гномы, в зависимости от того, какой сорт им нравится. Правдивый — любит только сливочное, признает это, а про остальные сорта говорит, что не любит. Лживый гном, который любит шоколадное мороженое, скажет «нет» в ответ на второй вопрос, и «да» — в ответ на третий. Если же лживый гном любит фруктовое, то он ответит «да» на вопрос про шоколадное, и «нет» — про фруктовое.
Из третьего столбца мы видим, что в любви к фруктовому мог признаться только лжец, который любит шоколадное мороженое. Причем такой среди гномов — всего один. А из второго столбца мы видим, что отрицают любовь к шоколадному мороженому все правдивые гномы и лжецы, которые любят шоколад. Но таких лжецов, как мы уже узнали, всего один. Поэтому на второй вопрос ответили «нет» все правдивые гномы и один лжец. То есть правдивых гномов — половина минус один.
Школьная олимпиада по математике в 8 классе.
Над имеющимся числом разрешается производить два действия: умножить его на 2 или прибавить к нему 2. За какое минимальное число действий можно из единицы получить триста?
Задача решается с конца:
- 300 : 2 = 150
- 150 – 2 = 148
- 148 : 2 = 74
- 74 – 2 = 72
- 72 : 2 = 36
- 18 – 2 = 16
- 16 : 2 = 8
10) 4 : 2 = 2
11) 2 : 2= 1
за 11 действий.
2) На затонувшей каравелле XIV века были найдены шесть мешков с золотыми монетами. В первых четырех мешках оказалось по 60, 30, 20 и 15 золотых монет. Когда подсчитали монеты в оставшихся двух, кто-то заметил, что число монет в мешках составляет некую последовательность. Приняв это к сведению, смогли бы вы сказать, сколько монет в пятом и шестом мешках?
Можно заметить, что . Тогда, если по утверждению, наблюдается последовательность, то в пятом мешке было , а в шестом мешке
12 и 10.
3) Вася задумал два числа. Их сумма равна их произведению и равна их частному. Какие числа задумал Вася?
Запишем условие в следующем виде: a + b = a · b = a : b
Из второго равенства a · b = a : b получаем, что b= 1, т.е b = +1 или b = -1.
Рассмотрим первое равенство a + b = a · b.
При b = 1 оно не имеет решений (1 = 0). При b = -1 получаем a = 0,5.
a + b = 0,5 — 1 = — 0,5
a · b = 0,5 · (-1) = — 0,5
a : b = 0,5 : (-1) = — 0,5
0,5 и – 1
4) Треугольник ABC – прямоугольный треугольник с гипотенузой AB. На прямой AB по обе стороны от гипотенузы отложены отрезки AK = AC и BM = BC. Найдите угол KCM. По теореме о внешнем угле треугольника сумма углов CKA и KCA равна углу CAB. Поскольку треугольник CAK – равнобедренный, KCA = CKA = CAB / 2. Аналогично, BCM = BMC = CBA / 2. Таким образом, KCM = KCA + ACB + BCM = ACB + ( CAB + CBA) / 2 = 90
5) Вода Тихого океана содержит 3,5% соли (по весу). Сколько пресной воды нужно долить к 40 кг такой воды, чтобы содержание соли в смеси составило 0,5%?
40 кг воды Тихого океана содержат кг соли. Для того, чтобы эта масса после добавления пресной воды составила нужно, чтобы общая масса воды стала равна кг. Значит, долить надо кг. пресной воды.: Процентное содержание соли определяется отношением массы чистой соли к массе раствора. Так как в 40 кг раствора (морской воды) содержится 1,4 кг, то , но если я добавлю кг чистой воды, то раствор станет полупроцентным, то есть:
Школьная олимпиада по математике в 9 классе.
Если первая цифра не меньше 3, то вторая – не меньше 12, что не возможно. Значит, первая цифра 1 или 2. Далее число строится по условию.
каждый раз при распиле одного бревна добавляется одна чурка, а вторую считаем самим бревном. Значит если 52 распила, то увеличилось количество чурок-бревен на 52. Каждый новый распил добавляет новую чурку, поэтому сначала было чурок – бревен.
За x обозначаем кол-во бревен. За y обозначаем кол-во распилов на одном бревне. За z обозначаем кол-во поленьев, получившихся с одного бревна.
Имеем такую систему:
Из второго уравнения выражаем y, из третьего z, подставляем все в первое уравнение:
y = 52 : x; z = 72 ∙ x;
72 : x = 52 : x+1;
Приводим к общему знаменателю:72=52+x;
, параллельный высоте . По теореме Фалеса, он разделит отрезок пополам. По теореме Пифагора, гипотенуза треугольника равна 5 см. Кроме этого . То есть . Из параллельности отрезков
9 : 8, считая от основания.
Сухие грибы содержат кг. воды, поэтому в них 2,2 кг. твердого вещества. Столько же твердого вещества содержалось до усушки и в свежих грибах, но оно составляло там , следовательно, вода составляла в свежих грибах 90%.: Процентное содержание воды в грибах определяется отношением массы чистой воды к массе грибов. Так как в 2,5 кг грибов содержится 0,3 кг воды, то , но если я “добавлю” 19,5 кг чистой воды к этим грибам, то грибов станет 22 кг, а содержание в них воды будет составлять
Школьная олимпиада по математике в 10 классе.
1) Число n умножили на сумму его цифр и получили 1000. Найдите все такие числа.
Раскладываем 1000 в произведение двух множителей: 1000 ∙ 1, 500 ∙ 2, 250 ∙ 4, 200 ∙ 5, 125 ∙ 8, 100 ∙ 10, 50 ∙ 20, 40 ∙ 25. Мы получаем два варианта ответа – 125 ∙ 8 или 1000 ∙ 1.
125 и 1000.
2) Решите систему уравнений:
– 5х + 2 = 0, корни которого
= 2. Подставим и найдём
и (2; 2)
3) В конце каждого урока физкультуры учитель проводит забег и даёт победителю забега четыре конфеты, а всем остальным ученикам – по одной. К концу четверти Петя заслужил 29 конфет, Коля – 32, а Вася – 37 конфет. Известно, что один из них пропустил ровно один урок физкультуры, участвуя в олимпиаде по математике; остальные же уроков не пропускали. Кто из детей пропустил урок? Объясните свой ответ.
После каждого забега разность количества конфет, полученных любыми
двумя из присутствовавших на уроке школьников, делится на 3 (эта разность равна 0 или 3). Значит, и в конце четверти разность количеств конфет, полученных любыми двумя из посетивших все уроки физкультуры школьников, делится на 3. А из данных чисел 29, 32, 37 разность, делящуюся на 3, дают только числа 29 и 32. Значит, пропустил урок тот школьник, который заработал 37 конфет.
4) В некоторой трапеции длина одной из диагоналей равна сумме длин оснований трапеции, а угол между диагоналями равен градусов. Доказать, что эта трапеция равнобокая.
Другой вариант решения: Пусть AD = a, BC = b, AC = a + b. Продолжим AD за точку D на расстояние DM = BC. Тогда очевидно, что ΔАСМ – равносторонний. Но это значит, что ΔАОD и ΔВОС – тоже равносторонние. Отсюда непосредственно следует, что ΔАОВ = ΔСОD, откуда имеем, что AB = CD.
5) На велотрассе одновременно уходят со старта 5 велосипедистов. Скорость первого равна 50 км/ч, скорость второго – 40 км/ч, скорость третьего – 30 км/ч, скорость четвёртого – 20 км/ч, скорость пятого – 10 км/ч. Первый велосипедист считает количество велосипедов, которых он обогнал. Какого велосипедиста он посчитал 21-м?
Из условия следует, что первый велосипедист едет быстрее второго на 10 км/ч, третьего – на 20 км/ч, четвёртого – на 30 км/ч, пятого – на 40 км/ч. Это означает, что когда первый догонит второго, он в этот момент во второй раз догонит третьего, в третий раз – четвёртого, в четвёртый раз – пятого. Значит, в этот момент у него будет 1 + 2 + 3 + 4 = 10 обгонов. В момент, когда он во второй раз обгонит второго велосипедиста, у него получится 20 обгонов, и в этот момент все велосипедисты находятся рядом. Следующим будет обгон самого медленного – пятого велосипедиста.
Школьная олимпиада по математике в 11 классе.
1) Найдите произведение:
Среди сомножителей есть разность (sin45), равная 0, поэтому
2) Садовод-исследователь в течение июля и августа наблюдал за своей яблоней. За каждый месяц каждое яблоко увеличивает вес в 1,5 раза, но при этом 20% хороших яблок становятся червивыми. Как и на сколько процентов изменился общий вес хороших яблок в конце августа по сравнению с началом июля, если в начале июля ни одного червивого яблока не было?
Пусть общий вес яблок на начало июля составляет а. Тогда, если бы яблоки
не портились, их вес на конец августа составил бы 1,5а = 2,25а. Но поскольку за месяц портились 20% из них, общий вес хороших яблок составляет 2,25а · 0,8 · 0,8 = 1,44 а. Это означает, что общий вес хороших яблок вырос на 44%.
3) Из колбы, содержащей 80 г 10-процентного раствора соли, отливают некоторую часть в пробирку и выпаривают до тех пор, пока процентное содержание соли не повысится втрое. После этого полученный раствор выливают обратно в колбу. В результате содержание соли в колбе повышается на 2 процента. Какое количество раствора отливали из колбы в пробирку?
В колбе было граммов соли, столько же её останется и в конце, следовательно, масса раствора после переливания из пробирки составит значит, в процессе выпаривания из пробирки испарилось грамма воды. Чтобы при выпаривании в пробирке процентное содержание соли выросло втрое, нужно, чтобы вес раствора в пробирке уменьшился втрое, то есть испарилось две трети её начального веса. Значит, две трети начального веса пробирки равно грамма, поэтому полный вес отлитого в пробирку раствора равен
– соответственно медиана и высота треугольника Найти длину стороны
, он будет медианой прямоугольного треугольника , проведённой к гипотенузе и равен её половине. Тогда АН = НМ = МС =ВС = 2МС = 2 см.
5) Может ли сумма 100 последовательных натуральных чисел оканчиваться той же цифрой, что и сумма следующих 98 чисел?
Заметим, что сумма 100 последовательных натуральных чисел
является чётным числом, так как содержит ровно 50 нечётных слагаемых. А сумма 98
последовательных натуральных чисел является нечётным числом, так как содержит ровно 49 нечетных слагаемых. Поэтому эти суммы оканчиваются на цифры разной чётности.
оканчивается на 0, а сумма никаких двух подряд идущих чисел на 0 не оканчивается. Значит, не заканчивается на 0 и сумма никаких 98 подряд идущих чисел.
Всероссийская олимпиада по математике 2015. Окружной этап
условия 9-11 классов
- К некоторому числу прибавили сумму его цифр и получили 2014. Приведите пример такого числа.
- Волк, Ёж, Чиж и Бобёр делили апельсин. Ежу досталось вдвое больше долек, чем Чижу, Чижу —впятеро меньше, чем Бобру, а Бобру —на 8 долек больше, чем Чижу. Найдите, сколько долек было в апельсине, если Волку досталась только кожура.
- В семиэтажном доме живут домовые. Лифт курсирует между первым и последним этажами, останавливаясь на каждом этаже. На каждом этаже, начиная с первого, в лифт заходил один домовой, но никто не выходил. Когда в лифт зашёл тысячный домовой, лифт остановился. На каком этаже это произошло? Ответ объясните.
- Полина решила раскрасить свой клетчатый браслет размером 10×2 (см. рисунок слева) волшебным узором из одинаковых фигурок (см. рисунок справа), чередуя в них два цвета. Помогите ей это сделать. (Изобразите ответ на полоске, являющейся разверткой браслета.)
- После хоккейного матча Антон сказал, что он забил 3 шайбы, а Илья только одну. Илья сказал, что он забил 4 шайбы, а Серёжа целых 5. Серёжа сказал, что он забил 6 шайб, а Антон всего лишь две. Могло ли оказаться так, что втроём они забили 10 шайб, если известно, что каждый из них один раз сказал правду, а другой раз солгал? Ответ объясните.
- На листе в клетку нарисован прямоугольник 6×7. Разрежьте его по линиям сетки на 5 каких-нибудь квадратов.
- В каждом из трех сундуков Али-Баба нашел золотые и серебряные монеты; всего 40 золотых и 40 серебряных монет. В первом сундуке золотых монет было на 7 больше, чем серебряных, во втором —серебряных на 15 меньше, чем золотых. Каких монет больше в третьем сундуке и на сколько? Ответ объясните.
- Рамка для трёх квадратных фотографий имеет везде одинаковую ширину (см. рисунок). Периметр одного отверстия равен 60 см, периметр всей рамки равен 180 см. Чему равна ширина рамки?
- Среднее арифметическое четырех чисел равно 10. Если вычеркнуть одно из этих чисел, то среднее арифметическое оставшихся трех увеличится на 1, если вместо этого вычеркнуть другое число, то среднее арифметическое оставшихся чисел увеличится на 2, а если вычеркнуть только третье число, то среднее арифметическое оставшихся увеличится на 3. На сколько изменится среднее арифметическое трех оставшихся чисел, если вычеркнуть четвертое число?
- В тридевятом царстве есть только два вида монет: 16 и 27 тугриков. Можно ли заплатить за одну тетрадку ценой в 1 тугрик и получить сдачу?
- Соедините точки A и B (см. рисунок) ломаной из четырех отрезков одинаковой длины так, чтобы одновременно выполнялись следующие условия: 1) концами отрезков могут быть только какие-то из отмеченных точек; 2) внутри отрезков не должно быть отмеченных точек; 3) соседние отрезки не должны лежать на одной прямой. (Достаточно привести один пример.)
- Уюного художника была одна банка синей и одна банка желтой краски, каждой из которых хватает на покраску 38 дм2 площади. Использовав всю эту краску, он нарисовал картину: синее небо, зеленую траву и желтое солнце. Зеленый цвет он получал, смешивая две части желтой краски и одну часть синей. Какая площадь на его картине закрашена каждым цветом, если площадь травы на картине на 6 дм2 больше, чем площадь неба?
- Биолог последовательно рассаживал 150 жуков в десять банок. Причем в каждую следующую банку он сажал жуков больше, чем в предыдущую. Количество жуков в первой банке составляет не менее половины от количества жуков в десятой банке. Сколько жуков в шестой банке?
- Можно ли в кружках (см. рисунок) разместить различные натуральные числа таким образом, чтобы суммы трех чисел вдоль каждого отрезка оказались равными?
- Графики трех функций y = ax + a, y = bx + b и y = cx + d имеют общую точку, причем a b. Обязательно ли c = d? Ответ обоснуйте.
- Из клетчатой бумаги вырезана прямоугольная рамка (см. рисунок). Ее разрезали по границам клеток на девять частей и сложили из них квадрат 6×6. Могли ли все части, полученные при разрезании, оказаться различными? (При складывании квадрата части можно переворачивать.)
- Вершину A параллелограмма ABCD соединили отрезками с серединами сторон BC и CD. Один из этих отрезков оказался вдвое длиннее другого. Определите, каким является угол BAD: острым, прямым или тупым.
- Три пирата вечером поделили добытые за день бриллианты: по двенадцать Биллу и Сэму, а остальные — Джону, который считать не умел. Ночью Билл у Сэма, Сэм у Джона, а Джон у Билла украли по одному бриллианту. В результате средняя масса бриллиантов у Билла уменьшилась на один карат, у Сэма уменьшилась на два карата, зато у Джона увеличилась на четыре карата. Сколько бриллиантов досталось Джону?
- В треугольнике ABC угол B равен 120◦, AB = 2BC. Серединный перпендикуляр к стороне AB пересекает AC в точке D. Найдите отношение AD : DC.
- Гномы сели за круглый стол и голосованием решили много вопросов. По каждому вопросу можно было голосовать «за», «против» или воздержаться. Если оба соседа какого-либо гнома по какому-нибудь вопросу выбрали один и тот же вариант ответа, то при голосовании по следующему вопросу он выберет этот же вариант. А если они выбрали два разных варианта, то при голосовании по следующему вопросу гном выберет третий вариант. Известно, что по вопросу «Блестит ли золото?» все гномы проголосовали «за», а по вопросу «Страшен ли Дракон?» Торин воздержался. Сколько могло быть гномов? (Опишите все возможности и докажите, что других нет.)
- 1988 и 2006
- 16 долек
- на 4 этаже
- нет, не могло
- 1471+471+71+1=2014
- серебряных монет на 22 больше
- 5 см
Вар-т 1
Вар-т 2
Вар-т 3
Расставьте в записи 7 х 9 + 12 : 3 – 2 скобки так, чтобы значение получившегося выражения было равно 23.
Ответ:(7 х 9 + 2) : 3 – 2 = 23.
В один сосуд входит 3 л, а в другой – 5л. Как с помощью этих сосудов налить в кувшин 4л воды из водопроводного крана.
Ответ: Наполняем сосуд в 5л и отливаем в трехлитровый сосуд.Оставшиеся 2 литра переливаем в кувшин.Повторяя эту операцию, наливаем в кувшин 4 л воды.
В оранжерее были срезаны гвоздики: белых и розовых – 400 штук, розовых и красных – 300, белых и красных – 440.Сколько гвоздик каждого цвета было срезано в оранжерее?
Ответ: Белых – 270, розовых – 130, красных – 170. Сложить все данные числа и разделить результат на два; получим количество гвоздик всех трех цветов,срезанных в оранжерее.
Когда отцу было 27 лет, то сыну было только 3 года,а сейчас сыну в три раза меньше лет, чем отцу. Сколько лет сейчас каждому из них?
Ответ: Пусть сейчас сыну – х лет, тогда отцу – 3х лет. Поскольку разность возрастов отца и сына постоянна и равна по условию 24 годам, то имеем уравнение: 3х – х = 24, откуда х = 12; 3х = 36.
Принесли 5 чемоданов и 5 ключей от этих чемоданов, но неизвестно, какой ключ от какого чемодана. Сколько проб придется сделать в самом худшем случае, чтобы подобрать к каждому чемодану свой ключ.
Ответ: Первым из ключей, которые мы будем подбирать к чемодану, в самом худшем случае придется сделать 4 пробы. (Если ключ не подошел к 4 чемоданам из 5, значит, он соответствует пятому). Вторым ключом в самом худшем случае сделаем 3 пробы и т д. Всего потребуется 10 проб (4 + 3 + 2 + 1 = 10
Рыбак поймал рыбу. Когда у него спросили, колько весит пойманная рыба, он сказал: “Я думаю, что ее хвост весит 1 кг, голова весит столько, сколько хвост и половина туловища, а туловище – сколько голова и хвост вместе.” Сколько же весит рыба?
Ответ: По условию туловище рыбы весит 1 кг ( вес хвоста) плюс вес головы, а так как вес головы равен 1 кг (вес хвоста) и половине туловища, то получается, что туловище рыбы весит 2 кг плюс половина туловища, т.е. туловище весит 4 кг. Тогда голова весит 3 кг (сколько хвост и половина туловища), а вся рыба – 8 кг ( 3 + 4 + 1 = 8 ).
Олимпиадные задачи по математике 5 класс с ответами
В корзине лежат яблоки, груши и персики – всего 37 плодов. Яблок в корзине в два раза больше, чем персиков, и на 3 штуки больше, чем груш. Сколько в корзине яблок, груш, персиков?
Запишите все делители числа 24. Запишите все числа, меньшие двухсот, которые кратны этому числу.
Из двух городов, расстояние между которыми 100 км, одновременно выехали навстречу друг другу два велосипедиста, скорости которых 12 км/ч и 14 км/ч. Каким будет расстояние между велосипедистами через 3 часа после начала их движения?
Начертите угол, который на 15 гр. меньше прямого угла. Начертите угол, который на 65 гр. меньше развёрнутого угла. На сколько градусов первый угол меньше второго?
На стол положили ложки, вилки и ножи – всего 37 приборов. При этом вилок положили в два раза больше, чем ножей и на 2 меньше, чем ложек. Сколько положили на стол ложек, вилок, ножей?
1. Яблок – 16, груш – 13, персиков – 8. 2. Делители: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Кратные: 24, 48, 72, 96, 120, 144, 168, 192. 3. Искомое расстояние равно: 100 – (12 + 14) • 3 = 22 (км). 4. Нужно начертить углы величиной в 75 гр. и 115 гр.. На 40 гр.. 5. Вилок – 14, ножей – 7, ложек – 16.
Олимпиадные задания по математике 5 класс с ответами
1. В выражении 4 + 32 : 8 + 4 • 3 расставьте скобки так, чтобы получилось число 28.
Ответ: 4 + (32 : 8 + 4) • 3.
2. Подберите корни уравнения: 15 : х = 16 – х
Ответ: 15, 1.
3. Необходимо получить число 16 с помощью четырех пятерок, соединяя их знаками арифметических действий. Как это сделать?
Ответ: 55 : 5 + 5.
4. Чему равно значение выражения: 101101 • 999 – 101 • 999999?
5. В семье трое братьев, каждый следующий брат вдвое младше предыдущего. Сколько лет старшему, если всем им вместе 28 лет?
6. Для нумерации страниц учебника потребовалось 324 цифры. Сколько страниц в этой книге?
7. Напишите самое маленькое четырехзначное число, которое при делении на 6 дает в остатке 5.
8. У щенят и утят 42 ноги и 12 голов. Сколько щенят и сколько утят?
Ответ: 9 щенят, 3 утенка.
9. Напишите цифрами число, состоящее из 11 тысяч, 11 сотен и 11 единиц.
10. Сумма и произведение четырех натуральных чисел равны 8. Что это за числа?
Ответ: 1, 1, 4, 2.
11. Двумя прямыми линиями разделите циферблат часов на 3 части так, чтобы после сложения чисел в каждой части получились 3 равные суммы.
Ответ: 1-ая сумма: 11, 12, 1, 2; 2-ая сумма: 10, 9, 3, 4; 3-я сумма: 8, 7, 6, 5.
Ключи школьной олимпиады по математике
Сумма двух чисел равна 1. Может ли их произведение быть больше 0,3?
Обозначим первое число за , тогда второе будет равно 1 – , а их произведение
. Максимальное значение данного квадратного трёхчлена достигается при = 0,5 и составляет 0,25.
– соответственно медиана и высота треугольника
. Найти длину стороны
он будет медианой прямоугольного треугольника , проведённой к гипотенузе и равен её половине. Тогда – равнобедренный, поэтому AH = HM = MC = 1 BC = 2MC = 2
При каких значениях числового параметра верно при всех значениях
1 сократим неравенство на
, сохраняя знак:
. Такое неравенство верно для всех
. Но квадрат числа никогда не бывает отрицательным.
Есть один килограмм 20%-ного соляного раствора. Лаборант поместил колбу с этим раствором в аппарат, в котором выпаривается вода из раствора и одновременно с этим в него с постоянной скоростью, равной 300 г./ч., подливается 30%-ный раствор этой же соли. Скорость выпаривания также постоянна и составляет 200 г./ч. Процесс останавливается, как только в колбе окажется 40%-ный раствор. Какова будет масса полученного раствора?
Пусть t — время, в течение которого работал аппарат. Тогда по окончании работы в колбе получилось 1 + (0,3 – 0,2)t = 1 + 0,1t кг. раствора. При этом масса соли в этом растворе равна 1 · 0,2 + 0,3 · 0,3 · t = 0,2 + 0,09t. Так как полученный раствор содержит 40% соли, получаем 0,2 + 0,09t = 0,4(1 + 0,1t), то есть 0,2 + 0,09t = 0,4 + 0,04t, отсюда t = 4 ч. Следовательно, масса полученного раствора равна 1 + 0,1 · 4 = 1,4 кг.
Сколькими способами среди всех натуральных чисел от 1 до 25 можно выбрать 13 различных так, чтобы сумма любых двух выбранных чисел не равнялась 25 или 26?
Вычеркнем из этого ряда числа, кратные 2, 3 или 5. Останется 8 чисел: 30k+1, 30k+7, 30k+11, 30k+13, 30k+17, 30k+19, 30k+23, 30k+29. Допустим, что среди них есть составное число. Докажем, что это число кратно 7. Первые семь этих чисел дают разные остатки при делении на 7, т. к. числа 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23 дают разные остатки при делении на 7. Значит, одно из этих чисел кратно 7. Заметим, что число 30k+1 не кратно 7, иначе 30k+29 также будет кратно 7, а составное число должно быть ровно одно. Значит, числа 30k+1 и 30k+29 — простые.
