ОТВЕТЫ К МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОЛИМПИАДЕ ВСЕ ДЛЯ 8 КЛАССА

Олимпиады по математике 8 класс с решением и ответами. Олимпиадные задания — задачи олимпиад. Решение. Ответы.

Олимпиады по математике с решением. 8 класс. Вариант 1.

Задача № 1:

Сумма квадратов n простых чисел, каждое из которых больше 5, делится на 6. Докажите что и n делится на 6.

Решение. Если сумма нескольких чисел делится на шесть, то и сумма их остатков при делении на шесть тоже будет делится на 6. Простое число, большее пяти, может иметь при делении на 6 только остатки 1 или 5 (иначе это число будет делиться на 2 или 3). Следовательно, квадрат любого простого числа, большего чем 5, имеет при делении на 6 остаток 1. Так как сумма этих остатков равна количеству чисел n, значит n делится на 6.

Задача № 2:

Петя и Вася сделали в тире по 5 выстрелов. Первыми тремя выстрелами они выбили поровну, а последними тремя Петя выбил в три раза больше очков, чем Вася. На мишени остались пробоины в 10, 9, 9, 8, 8, 5, 4, 4, 3, 2 очков. Куда попал каждый из них третьим выстрелом? Приведите все возможные варианты ответа и докажите, что других нет.

Ответ. Третьим выстрелом Петя выбил 10, а Вася — 2 очка.

Решение. Последними тремя выстрелами Вася не мог выбить больше, чем 9 очков (иначе Петя бы выбил последними тремя выстрелами не меньше 30). Меньше 9 очков Вася тоже выбить не мог, так как наименьшая сумма за три выстрела 2 + 3 + 4 = 9. Следовательно, Вася выбил 2, 3 и 4 очка а Петя 10, 9 и 8 очков (других вариантов набрать 27 очков тремя выстрелами нет). Значит первыми двумя выстрелами мальчики выбили 9, 8, 5 и 4 очка. При этом Петя третьим выстрелом выбил не меньше, чем 8, а Вася — не больше, чем 4 очка. Так как сумма очков после первых трех выстрелов была равной, значит, первыми двумя выстрелами Петя выбил по крайней мере на четыре очка меньше, чем Вася. Единственная возможность — Вася выбил 9 и 8, а Петя 5 и 4 очка, следовательно, третьим выстрелом Вася выбил 2, а Петя 10 очков.

Задача № 3:

Если дату 10 февраля 2001 года записать в виде 10.02.2001, а затем убрать точки, то получится палиндром (т.е. число, читающееся слева направо и справа налево одинаково). Найдите ближайшую к 10.02.2001 дату, обладающую тем же свойством. Рассмотрите два случая: 1) требуемая дата еще не наступила, 2) требуемая дата уже прошла. Ответ обосновать.

Ответ. 1) 20 февраля 2002 2) 29 ноября 1192 года.

Решение. Заметим, что при условии, что дата записывается как палиндром, день и месяц однозначно находятся по заданному году.

: в 2001 году других палиндромов быть не может, а в следующем (2002) году это должен быть 20 день второго месяца.

: Чтобы дата была как можно ближе к 2001 году, необходимо брать самый большой возможный год, меньший 2001. Вторая цифра года должна быть первой цифрой месяца, то есть 0 или 1, т.к. месяцев не больше 12. В 2000 году палиндрома быть не может (нулевого дня не бывает), следовательно, первые две цифры года — 11 (соответственно, месяц — ноябрь). Третью цифру года нужно взять максимально возможную, т.е. девять, тогда четвертой (так как в ноябре не больше 31 дня) может быть два. Получится дата-палиндром 29.11.1192.

Задача № 4:

В выпуклом четырехугольнике ABCD стороны AB и CD параллельны, а диагонали AC и BD перпендикулярны. Докажите, что AD + BC = AB + CD.

Задачи олимпиад по математике 8 класс с решением и ответами. Олимпиадные задания — задачи олимпиад. Решение. Ответы.

Задачи олимпиад с решением. 8 класс. Вариант 3.

Задача № 1 :

В трех кучках лежат соответственно 12, 24 и 19 спичек. За ход можно переложить спичку из одной кучки в другую. За какое наименьшее число ходов можно получить три кучки с 8, 21 и 26 спичками?

Ответ : 4.

Менее чем 4 ходами не обойтись: чтобы получить кучку из 8 спичек, придется из любой первоначальной кучки убрать как минимум 4 спички. Четырех ходов достаточно: перекладываем из кучки с 12 спичками по 2 спички в кучки с 19 и 24 спичками.

Задача № 2 :

Сколько всего есть четырехзначных чисел, которые делятся на 19 и оканчиваются на 19?

Ответ : 5 .

Решение : Пусть

— такое число. Тогда N – 19 тоже кратно 19. Но

Поскольку 100 и 19 взаимно просты, то двузначное число делится на 19. А таких всего пять: 19, 38, 57, 76 и 95. Легко убедиться, что все числа 1919, 3819, 5719, 7619 и 9519 нам подходят.

Задача № 3 :

У даты 12.04.1961 (то есть 12 апреля 1961 года) сумма цифр равна 24. Найдите ближайшую дату после 01.01.2008, у которой сумма цифр равна: а)  35; б)  7.

Ответ : а) 29.09.2049; б) 03.01.2010.

Решение : а) Наибольшая сумма цифр числа равна 11 для 29-го числа. Наибольшая сумма цифр месяца равна 9 для сентября, то есть для 09. Значит, наибольшая сумма цифр в текущем году будет у даты 29.09.2008. Она равна 30, что меньше 35. Следовательно, надо менять и год. Последняя цифра года не более 9, и если мы сохраняем первые две цифры, то придется цифру десятилетий увеличить до 4.

б) Для 2008 года сумма цифр года уже больше 27, поэтому год придется изменить. Ближайший год в будущем с меньшей суммой цифр — 2010-й. Соответственно, ближайшая подходящая дата 03.01.2010.

Задача № 4 :

Среди целых чисел от 8 до 17 включительно зачеркните как можно меньше чисел так, чтобы произведение оставшихся было точным квадратом. В ответе укажите сумму всех вычеркнутых чисел.

Ответ : 55.

Задача № 5 :

На гранях кубика расставлены 6 различных чисел от 6 до 11. Кубик бросили два раза. В первый раз сумма чисел на четырех боковых гранях оказалась равна 36, во второй — 33. Какое число написано на грани, противоположной той, где написана цифра 10?

Ответ : 8.

Cумма чисел на всех гранях равна 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = 51. При первом броске сумма на верхней и нижней гранях равна 51 – 36 = 15, при втором — 51 – 33 = 18. Значит, на третьей паре противоположных граней сумма равна 51 – 15 – 18 = 18. Сумму 18 можно получить двумя способами: 11 + 7 или 10 + 8. Значит, на парах граней с суммой 18 напротив 11 находится 7, а напротив 10 — 8.

Задача № 6 :

В конкурсе участвовали 5 человек. На каждый вопрос один из них дал неправильный ответ, остальные — правильный. Число правильных ответов у Пети равно 10 — меньше, чем у любого другого. Число правильных ответов у Васи равно 13 — больше, чем у любого другого. Сколько всего вопросов было в конкурсе?

Ответ : 14 .

Решение : Так как на каждый вопрос были даны 4 правильных ответа, общее число правильных ответов делится на 4. Поскольку Петя дал 10 верных ответов, Вася — 13, а остальные трое — от 11 до 12, то общее число правильных ответов не меньше, чем 10 + 13 + 3 х 11 = 56, и не больше, чем 10 + 13 + 3 х 12 = 59. Из чисел в этих пределах только 56 кратно 4, поэтому число вопросов равно

Задача № 7 :

Команда из Пети, Васи и одноместного самоката участвует в гонке. Дистанция разделена на участки одинаковой длины, их количество равно 42, в начале каждого — контрольный пункт. Петя пробегает участок за 9 мин, Вася — за 11 мин, а на самокате любой из них проезжает участок за 3 мин. Стартуют они одновременно, а на финише учитывается время того, кто пришел последним. Ребята договорились, что один проезжает первую часть пути на самокате, остаток бегом, а другой — наоборот (самокат можно оставить на любом контрольном пункте). Сколько участков Петя должен проехать на самокате, чтобы команда показала наилучшее время?

Ответ : 18

Решение : Если Петя проедет 18 участков и пробежит оставшиеся 42 – 18 = 24, он затратит 18 х 3 + 24 х 9 = 270 мин. При этом Васе, наоборот, достанется проехать 24 участка, а пробежать 18, на что уйдет 24 х 3 + 18 х 11 = 270 мин — то же самое время. Если же Петя проедет меньшее число участков, то его время (и, соответственно, время команды) увеличится. Если Петя проедет большее количество участков, то увеличится время Васи (и время команды).

Достаточно обозначить число проезжаемых Петей участков через x и решить уравнение

x·3 + (42 – x)·9 = (42 – x)·3 + 11x.

Банк олимпиадных заданий

по математике для 6 класса

Филонова Лариса Ивановна, МБОУ Платоновская СОШ Рассказовского района;

Тумакова Елена Семеновна, МБОУ Платоновская СОШ;

Ильичева Ирина Николаевна, МБОУ Платоновская СОШ;

Богданова Людмила Александровна, Саюкинский филиал МБОУ Платоновской СОШ;

Дьякова Эугения Станиславовна, Рождественский филиал МБОУ Платоновской СОШ

Место прохождения стажировки: МАОУ «Лицей № 29», г. Тамбов

Организатор стажировки: Калужина Татьяна Николаевна

Расшифруйте запись примера на сложение, где одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры:

А Б В Д

+  А Б Г Д

В Д Г А Д

5 2 1 0

+  5 2 4 0

1 0 4 5 0

Докажите, что если цифры десятизначного числа выписать в обратном порядке, то полученное число не будет в три раза больше исходного.

Предположим, что такое число нашлось. Его первая цифра может быть 1, 2 или 3 (потому что иначе в три раза большее число будет одиннадцатизначным).

Если первая цифра 1, то последняя – 7 (так как иначе при умножении на три на конце получится другое число – см. таблицу умножения на 3). Но тогда обращённое число получается более чем в три раза превосходит исходное.

Если первая цифра – 2 или 3, то последняя – 4 или 1, поэтому обращённое число получается слишком мало.

. Кассир продал все билеты в первый ряд кинотеатра, причем по ошибке на одно из мест было продано два билета. Сумма номеров мест на всех этих билетах равна 857. На какое место продано два билета?

Есть 10 монет, среди них ровно две фальшивые. Детектор R7 за одну операцию исследует три монеты и указывает на одну из них. Известно, что детектор не может указать на настоящую монету, если среди тестируемых монет есть хотя бы одна фальшивая. Как за шесть тестов выявить обе фальшивые монеты?

Выберем три кучки по три монеты, протестируем каждую из них, и возьмём те три монет, на которые указал детектор. Среди них, очевидно есть хоть одна фальшивая. Протестируем эти монеты и таким образом определим одну из фальшивых. Вторая фальшивая монета может быть только среди тех четырёх монет, с которыми тестировалась найденная фальшивая или быть той монетой, которая ещё не была задействована. Среди этих пяти монет за два теста определить одну фальшивую уже совсем легко (каждый тест выявляет две настоящие монеты).

Яйцо варится 9 минут. Как отсчитать это время с помощью двух песочных часов по 5 минут и 7 минут?

Одновременно запускаем часы по 5 минут и 7 минут. Через 5 мин. (когда кончится песок в 5 мин. часах) начинаем варить яйцо. Через 2 мин. кончится песок в7 мин. часах; перевернем их. Когда в них опять кончится песок, яйцо будет готово.

Варить яйцо начинаем одновременно с запуском двух песочных часов по 5 минут и 7 минут. Через 5 минут переворачиваем пяти минутные часы, а еще через 2 минуты (когда семи минутные часы станут пустыми) переворачиваем пяти минутные часы еще раз.

На каждом километре между селами Марьино и Рощино стоит столб с табличкой, на одной стороне которой написано расстояние до Марьино, на другой – расстояние до Рощино. Останавливаясь у каждого столба, Бобик заметил, что если сложить все цифры, записанные на обеих сторонах таблички, то получится 13. Найдите расстояние между селами.

Расстояние между селами не может быть больше, чем 49 километров, так как тогда на одном из столбов будет написано с одной стороны 49, а с другой – не 0, то есть, сумма цифр будет больше 13. На первых девяти столбах с одной стороны записаны однозначные числа от 1 до 9, поэтому числа, записанные с другой стороны, также должны быть из одного десятка (чтобы суммы цифр были одинаковы). Следовательно, искомое расстояние выражается числом, оканчивающимся на 9. Числа 9, 19, 29 и 39 решениями не являются, так как на первом столбе сумма цифр не будет равна 13. Таким образом, искомое расстояние равно 49 километрам.

Ответ: 49 километров.

На доске написано пять двузначных натуральных чисел. Чебурашка каждую минуту прибавляет ко всем числам единицу или (тоже ко всем числам) двойку. После того, как Чебурашка увеличивает числа, К. Гена может стереть какое-нибудь число, делящееся на 13, или число, сумма цифр которого делится на 7 (если, конечно, такое число на доске есть). Докажите, что при любых действиях Чебурашки Гена через некоторое время сумеет стереть с доски все числа.

Гена может найти пять пар не более чем пятизначных соседних чисел, так, чтобы в каждой паре он мог стереть любое число. Чебурашка сможет «провести» через одну такую пару не более одного числа, а значит все пять чисел Гена сможет стереть.

На одной стороне улицы разбитых фонарей стояло 150 фонарей, причём среди любых трёх фонарей, стоящих подряд, хотя бы один был разбит. После того, как электрик Петров починил несколько фонарей, среди любых четырёх фонарей, стоящих подряд, осталось не более одного разбитого. Докажите, что электрик починил не менее 25 фонарей.

1 способ. Разобьём фонари на 25 шестёрок подряд стоящих, и докажем, что в каждой из них был починенный фонарь. Предположим, что в какой-то шестёрке ни один фонарь не был починен. В такой шестёрке не менее двух разбитых фонарей (поскольку в каждой из двух троек, составляющих шестёрку, был разбитый фонарь), между которыми не менее трёх работающих фонарей (так как иначе можно будет указать четыре фонаря, среди которых хотя бы два разбитых). Но как раз трёх работающих фонарей подряд стоять и не может.

2 способ. Посмотрим на фонари до прихода электрика. В каждой тройке подряд стоящих фонарей есть хотя бы один испорченный, значит всего испорченных фонарей не менее 50. Пронумеруем первые 50 испорченных фонарей слева направо и разобьём на пары: 1-й со 2-м, 3-й с 4-м, и т.д. (всего 25 пар) Между фонарями одной пары все фонари целые, а значит их не более двух. Поэтому один из испорченных фонарей, входящих в одну пару, надо починить.

На острове Невезения отменили понедельники: у них за воскресеньем сразу следует вторник. За последний год (то есть, с 15 декабря 2002 года по 14 декабря 2003 года) воскресенья на острове совпадали с нашими воскресеньями ровно восемь раз. Какой день недели на острове сегодня?Решение.

Так как обычная неделя состоит из семи дней, а неделя на острове – из шести, то совпадение воскресений происходит один раз в 6 х 7 = 42 дня. Значит, за 378 дней происходит 9 совпадений. Поскольку 378 – 365 = 13, то девятое совпадение должно произойти в течение ближайших тринадцати дней (с 15 по 27 декабря). Единственное воскресенье в этот период – 21 декабря. Непосредственным подсчетом получаем, что сегодня на острове – суббота. Ответ: суббота.

. Каждый из трёх приятелей либо всегда говорит правду, либо всегда лжёт. Им был задан вопрос: «Есть ли хотя бы один лжец среди двух остальных?» Первый ответил: «Нет», второй ответил: «Да». Что ответил третий?Решение. Так как первый и второй приятели дали различные ответы, то один из них – лжец, а другой – рыцарь. Кроме того, рыцарь не мог ответить «Нет» на предложенный ему вопрос, так как в этом случае он бы сказал неправду (среди двух оставшихся точно есть лжец). Следовательно, первый – лжец. Он солгал, значит,  среди двух оставшихся должен быть лжец, и им может быть только третий приятель. Значит, третий ответил «Нет». Ответ: «Нет».

Все задания оцениваются, исходя из 7 баллов.

7 баллов – верное решение,

6 баллов – решение с недочетами,

4-5  баллов – в основном решение верно, но неполно или содержит непринципиальные ошибки,

1-3 балла – решение в целом неверно, но содержит более или менее существенные продвижения в верном направлении.

0 баллов – решении неверно или отсутствует.

5 — 11

Список олимпиад с ответами для 8 класса по математике за 2023 год, Все города России

Все города России

5 — 11 класс

7 — 11 класс

НИЯУ МИФИ, Росатом

Олимпиада «Росатом» по математике

296 вузов примут без экзаменов

504 вуза дадут 100 баллов за проф. экзамен

829 вузов дадут от 1 до 10 баллов за инд. достижения

8 — 11 класс

6 — 11 класс

2 — 11 класс

Курчатовский институт, Департамент образования и науки города Москвы

Олимпиада «Курчатов» по математике

295 вузов примут без экзаменов

422 вуза дадут 100 баллов за проф. экзамен

622 вуза дадут от 1 до 10 баллов за инд. достижения

Олимпиада СПбГУ по математике

396 вузов примут без экзаменов

528 вузов дадут 100 баллов за проф. экзамен

869 вузов дадут от 1 до 10 баллов за инд. достижения

Сравни ответы и решения для 8 класса по математике олимпиад 2023 года с этапами во всех городах России

Ответы олимпиад для школьников Всех городов России 2023 года для 8 класса по математике помогут подготовиться к олимпиадам сезона 2023 — 2024 во всех городах России. Выбери ответы и решения для 8 класса по математике 2023 года по требуемому предмету и потренируйся.

Олимпиадные задачи по математике 8 класс с решением и ответами. Олимпиадные задания — задачи олимпиад. Решение. Ответы.

Олимпиадные задания с решением. 8 класс. Вариант 2.

Нарисуйте на плоскости пять различных прямых так, чтобы они пересекались ровно в семи различных точках.

Решение : Три возможных ответа изображены на рисунке 1. Можно показать, что других конфигураций из пяти прямых, пересекающихся ровно в семи различных точках, нет.

Мальчик пошел с отцом в тир. Отец купил ему 10 пулек. В дальнейшем отец за каждый промах отбирал у сына одну пульку, а за каждое попадание давал одну дополнительную пульку. Сын выстрелил 55 раз, после чего пульки у него кончились. Сколько раз он попал?

Решение : Каждый раз, когда мальчик попадал в цель, число имеющихся у него пулек оставалось прежним (одну использовал и одну получил от отца). Каждый раз, когда мальчик промахивался, число имеющихся у него пулек уменьшалось на 2 (одну использовал и одну отобрал отец). Это значит, что сын за 55 выстрелов промахнулся 10 : 2 = 5 раз, стало быть, попал 55 – 5 = 50 раз.

Две биссектрисы треугольника пересекаются под углом 60°. Докажите, что один из углов этого треугольника равен 60°.

Решение : Пусть биссектрисы AA1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке I (рис.2). Допустим, что AIC1 = 60°. По теореме о внешнем угле треугольника

Но это еще не все решение: ведь может случиться, что AIC = 60°. Однако тогда

Когда Винни-Пух пришел в гости к Кролику, он съел 3 тарелки меда, 4 тарелки сгущенки и 2 тарелки варенья, а после этого не смог выйти наружу из-за того, что сильно растолстел от такой еды. Но известно, что если бы он съел 2 тарелки меда, 3 тарелки сгущенки и 4 тарелки варенья или 4 тарелки меда, 2 тарелки сгущенки и 3 тарелки варенья, то спокойно смог бы покинуть нору гостеприимного Кролика. От чего больше толстеют: от варенья или от сгущенки?

Ответ : от сгущенки.

Решение : По условию

По условию же

В каждой клетке клетчатой доски размером 50 х 50 записано по числу. Известно, что каждое число в 3 раза меньше суммы всех чисел, записанных в клетках, соседних с ним по стороне, и в 2 раза меньше суммы всех чисел, записанных в клетках, соседних с ним по диагонали. Докажите, что каждую клетку доски можно покрасить в красный или синий цвет так, что сумма всех чисел, записанных в красных клетках, равна сумме всех чисел, записанных в синих клетках.

Решение : Покажем, что подойдет раскраска клеток доски в шахматном порядке. Заметим, что сумма данного числа и его соседей по диагоналям равна сумме соседей этого числа по сторонам: обе суммы втрое больше данного числа. Поэтому в квадрате 2 х 2, находящемся в углу доски, суммы чисел в красных и синих клетках совпадают: обе они втрое больше числа, стоящего в угловой клетке доски. Также совпадают суммы чисел в красных и синих клетках любого прямоугольника 3 х 2, примыкающего длинной стороной к краю доски: обе они втрое больше числа, стоящего в средней клетке стороны, примыкающей к краю доски. Наконец, совпадают суммы чисел в красных и синих клетках любого квадрата 3 х 3: обе они втрое больше числа, стоящего в центре квадрата.

Разобьем доску 50 х 50 на квадрат 48 х 48, квадрат 2 х 2 и два прямоугольника 2 х 48, как показано на рисунке 3. Квадрат 48 х 48 разобьем на квадраты 3 х 3, а прямоугольники 2 х 48 — на прямоугольники 3 х 2, примыкающие длинной стороной к краю доски. В каждом из этих квадратов и прямоугольников суммы чисел, стоящих в красных и синих клетках, равны. Значит, они равны и на всей доске.

Вар-т 1
           Вар-т 2Вар-т 3

Все натуральные числа раскрасили в три цвета. Число 1 стало красным, 2 — синим, 3 — зеленым, 4 — красным, 5 — синим, 6 — зеленым, и так далее. Какого цвета может быть сумма красного и синего чисел?

А — только зеленого    Б — только красного     В — только синего Г — красного или синего     Д — может быть любого цвета

Два велосипедиста одновременно выехали навстречу друг другу по одной и той же дороге, соединяющей два села. Одному на весь путь требуется 1 час, а другому полтора часа. Через сколько минут они встретятся?

А — 20     Б — 24     В — 30      Г — 36     Д — 40

Петя хочет разрезать прямоугольник 6 х 7 на квадраты с целыми сторонами. Какое наименьшее число квадратов может при этом получиться?

А — 4     Б — 5     В — 7     Г — 9     Д — 42

На доске написано несколько натуральных чисел. Сумма этих чисел равна их произведению и равна 2012. Какое самое маленькое количество чисел может быть на доске?

А — 1006     Б — 1507     В — 1508      Г — 1556    Д — 2012

В войске 5555 человек. На 10 солдат приходится 1 капрал, на 5 капралов — 1 офицер, на 9 офицеров — 1 генерал. Сколько в войске солдат?

А — 505     Б — 4950     В — 5000      Г — 5050     Д — 5500

Ответы к заданиям:

1 — А      2 — Г      3 — Б      4 — А      5 — Б

Олимпиада по математике 6 класс с решением

На некотором острове необычайно регулярный климат : по понедельникам и средам всегда идут дожди,по субботам — туман, зато в остальные дни — солнечно. Утром какого дня недели нужно начать свой отдых группе туристов, если они хотят пробыть там 44 дня и захватить при этом как можно больше солнечных дней? A — в понедельник; B — в среду; C — в четверг; D — в пятницу; E — во вторник

Выясним, сколько полных недель в 44 днях. Получим 6 недель. В течении этих недель число солнечных дней не зависит от того, когда начнется отдых. В качестве оставшихся двух дней выбираем четверг и пятницу — солнечные дни. Следовательно, отправляем туристов утром в четверг. То есть верный ответ — (С).

У двузначного числа «n» цифра десятков в два раза больше, чем цифра единиц. Тогда число «n» обязательно: A — четное; B — нечетное; C — меньше 20; D — делится на 3; E — делится на 6.

Ищем число «n» среди ряда чисел: 10 — 99. По условию, у всех подозреваемых чисел — десятки четны (2,4,6,8), а единицы — в два раза меньше (1,2,3,4,). Перечислим все эти числа: 21, 42, 63, 84. Все они делятся на 3. Следовательно верен ответ (D).

Остаток от деления 100 на некоторое число равен 4. При делении 90 на это же число в остатке получается 18. На какое число делили? A — 18; B — 32; C — 24; D — 36; A — 48;

Из условия следует, что 100-4=96 делится на искомое число. Также 90-18=72 делится на искомое число. Их разность также делится на искомое число: 96-72=24. Следовательно, искомое число — 24, так как на него делится и 96, и 72. Верен ответ (С).

Раньше называли число, равное миллиону миллионов , словом «легион». Если разделить миллион легионов на легион миллионов, то получится : A — легион; B — миллион; C — миллион миллионов; D — легион легионов; E — 1

Перепишем заново: делимое: миллион легионов — это миллион миллионов миллионов, делитель: легион миллионов — это миллион миллионов миллионов, следоватально частное равно 1. Верен ответ (Е).

На доске написано пять двузначных натуральных чисел. Чебурашка каждую минуту прибавляет ко всем числам единицу или (тоже ко всем числам) двойку. После того, как Чебурашка увеличивает числа, К. Гена может стереть какое-нибудь число, делящееся на 13, или число, сумма цифр которого делится на 7 (если, конечно, такое число на доске есть). Докажите, что при любых действиях Чебурашки, Гена через некоторое время сумеет стереть с доски все числа.

Математическая олимпиада 6 класс с ответами

Вар-т 1
           Вар-т 2
           Вар-т 3

Используя шесть раз цифру 2, знаки действий и скобки, напишите выражение, значение которого равно 100.

Ответ: возможное решение (222 — 22) : 2 = 100

На полке в один ряд стоят книги. Энциклопедия стоит пятой слева и семнадцатой справа. Сколько книг на полке?

Ответ: 21 книга. (4 + 1 + 16 = 21)

По углам и сторонам квадрата вбиты колышки на расстоянии 2 метра друг от друга. Сколько колышков вбито, если сторона квадрата равна 10 метрам? Показать решение на рисунке.

Ответ: 20 колышков.

В забеге участвовало 37 человек. Число спортсменов, прибежавших раньше Игоря, в 5 раз меньше числа тех, кто прибежал позже. Какое место занял Игорь?

Ответ: 7 место. (х + 5х + 1 = 37; 6х = 36; х = 6.

В коробке 14 белых и 14 чёрных шариков. Какое минимальное количество шариков нужно достать из коробки, чтобы среди них наверняка оказалось 2 черных шарика?

Ответ: 16. (14 + 2 = 16).

В семье четверо детей, им 5,8,13и 15 лет. Детей зовут Аня, Боря, Вера, Галя. Сколько лет каждому ребенку, если одна девочка ходит в детский сад, Аня старше Бори и сумма лет Ани и Веры делится на 3?

Ответ: Вере — 5 лет; Боре — 8 лет, Ане — 13 лет; Гале — 15 лет.

Младший брат Насти во время игры вырвал из книги 3 листа. Настя сложила номера всех вырванных 6 страниц и получила 2016. Докажите, что при сложении девочка допустила ошибку.

Ответ: сумма номеров страниц на одном листе число нечетное, тогда сумма номеров 3-х листов тоже нечетное число.

Олимпиадные задания по математике 6 класс с решением

В записи (88888888) нужно поставить знаки сложения таким образом, чтобы получилась сумма, которая будет равна 1000.

Решение: Способ 1: 88 + 8 + 8 + 8 + 888 = 1000 Способ 2: 8 + 8 + 888 + 88 + 8 = 1000.

Малыш, Алиса, Кай и Женя заняли первые четыре места в соревнованиях, причем никто из них не делил между собой какие-нибудь места. Известно: Малыш не был ни первым, ни четвертым. Алиса заняла второе место. Кай не был последним. Какое место занял каждый?

Ответ: Малыш — 3, Алиса — 2, Кай — 1, Женя — 4 место.

Мама дала Зое денег, чтобы она в школьном буфете купила завтрак. Когда Зоя вер вернулась из школы, то перед мамой отчиталась так: 1/2 всех денег я истратила на бумагу, 1/5 — на чай, а 3/10 — на конфеты. Мама догадалась, что дочь истратила все деньги. Как она узнала?

Решение: 1/2 + 1/5 + 3/10 = 1, т.е. все деньги.

Змей Горыныч побежден! — такая молва дошла до Микулы Селяниновича. Он знал, что мог это сделать либо Илья Муромец, либо Алеша Попович, либо Добрыня Никитич. Вскоре Микуле сообщили:Змея Горыныча победил не Илья Муромец;Змея Горыныча победил Алеша Попович. Спустя некоторое время выяснилось, что одно их этих сообщений неверное, а другое верное. Догадайтесь, кто из трех богатырей победил Змея Горыныча.

Ответ. Добрыня Никитич. Решение. Предположим, что Змея Горыныча победил Илья Муромец. Тогда оба сообщения неверные-результат не соответствует условию задачи. Предположим, что Змея Горыныча победил Алеша Попович. Тогда оба сообщения верные. И этот результат не соответствует условию задачи. Предположим, что Змея Горыныча победил Добрыня Никитич. Тогда первое сообщение верное, а второе — неверное. Результат соответствует условию задачи.

Трое рыбаков поймали 75 карасей. Стали варить уху. Когда один дал 8 карасей, а другой 12, а третий 7, то карасей у них стало поровну. Сколько карасей поймал каждый рыбак?

Решение. 75 — 8 — 12 — 7 = 48(осталось всего окуней). 48 окуней на 3 рыбака. 48 : 3 = 16. У каждого рыбака осталось по 16 окуней. 16+ 8 = 24 — поймал 1 рыбак, 16 + 12 = 28 — поймал 2 рыбак, 16 + 7 = 23 — поймал 3 рыбак. Ответ: 24, 28, 23.

Имеется 8 палочек длиной в 1см, 8 палочек длиной в 2см и 7 палочек длиной в 5см. Можно ли из всех палочек этого набора сложить прямоугольник? Разламывать палочки нельзя.

Решение. Если a и b – длины сторон прямоугольника, периметр P = 2(a + b), т. е. P – четное число в случае целых a и b. 8 х 1 + 8 х 2 + 7 х 5 = 8 + 16 + 35 = 59 (см) – нечетное число. Поэтому из всех палочек данного набора прямоугольник сложить нельзя. Ответ: нельзя.

Олимпиадные задания по математике 6 класс с решением и ответами

6  класс                                                2016 – 2017 уч.год

№1.  Разместите  8  козлят  и  9  гусят  в  5  хлевах  так, чтобы  в  каждом  хлеве  были    козлята  и  гусята,   и  число  их  ног  равнялось  10.

№2. Чашка  и  блюдце  вместе  стоят  25  рублей, а  4  чашки  и  3  блюдца  стоят  88  рублей. Найдите  цену  чашки  и  цену  блюдца.

№3. В  семье  3  брата.  Средний  брат  старше  младшего  на  4  года.  Возраст  старшего  брата  больше  суммы  лет  двух  других  братьев  на  8  лет.  Сколько  лет  каждому  брату,  если  вместе  им  40  лет?

№4.  Внучке  столько  месяцев,  сколько  лет  дедушке.  Вместе  им  91  год. Сколько  лет  дедушке  и  сколько  лет  внучке?

№5. Разместите на  3 грузовиках   7  полных  бочек,  7  бочек, наполненных  на  половину,  7  пустых  бочек  так,  чтобы  на  всех  грузовиках  был  одинаковый  по  массе  груз.

№6. В  четырехугольнике проведи  2  отрезка  так,  чтобы  получилось  3  треугольника,  2  четырехугольника  и  1  пятиугольник.

№7. Шесть  девочек  взяли  напрокат  двухместную  лодку.  Сколько  времени  потребуется  девочкам, чтобы  всем  покататься  друг  с  другом,  если  каждая  пара  будет  кататься  по  15  минут?

Ответы:   №1. В двух  хлевах по 1 козленку и 3 гусенка, в  3 хлевах — по  2 козленка и 1 гусенку.    №2. Цена  чашки    13 рублей, блюдца 12 рублей       №3.24 года, 10 лет,  6 лет.  №4.  7  лет, 84 года.       №5  на  1 и 2 грузовиках  3 полных бочки,  1 наполненная  наполовину  и  пустых,  на  3  машину- 1 полную,  5  наполненных  наполовину и 1 пустую.    №7. 225 минут.

Олимпиадные задания по математике
Олимпиадные задания по математике, физике, информатике и химии с решением и ответами

Олимпиада по математике 8 класс с ответами

Олимпиада по математике 8 класс

Какой цифрой оканчивается сумма 92007 + 92006 ?

92007 + 92006 = 92006( 9 + 1) = 92006* 10. Нулем.

В оранжерее было срезано 360 гвоздик. Причем красных на 80 больше, чем белых, а розовых на 160 штук меньше, чем красных. Какое наибольшее число одинаковых букетов можно составить из этого количества цветов ? Сколько и каких цветов было в каждом букете?

Решая уравнение, получаем 40 розовых гвоздик,120 белых гвоздик, 200 красных гвоздик. Н ОД (40, 120,200) равен 40, следовательно из 360 гвоздик можно составить 40 букетов, причем каждый букет будет состоять из 1 розовой, 3 белых и 5 красных гвоздик.

Существует ли такой круг, чтобы его площадь и длина окружности выражались одним и тем же числом ?

Да, при радиусе равном 2.

После семи стирок измерения куска хозяйственного мыла, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, уменьшились в двое. На сколько еще стирок хватит оставшегося куска мыла ?

Мыла хватит еще на одну стирку, т.к. объем оставшегося мыла составил 1/8 часть первоначального, израсходовано мыла: 1 — 1/8 = 7/8 куска, значит на каждую стирку расходовалось 1/8 часть куска, именно столько осталось.

Из 38 учащихся 28 посещают хор и 17 лыжную секцию. Сколько лыжников посещает хор, если в классе нет учащихся, которые не посещают хор или лыжную секцию ?

7 человек. Хор не посещают 10 человек, все они лыжники. Лыжников всего 17человек, значит 7 человек надо «взять» из хора.

Окружность касается квадрата извне и «катится» по нему без скольжения. Сколько полных оборотов сделает эта окружность около своего центра и какой путь пройдет центр окружности к моменту возвращения в исходную точку, если длина стороны квадрата равна длине окружности и радиус окружности равен а см ? Те же вопросы, если окружность «катится» по сторонам равностороннего треугольника.

В случае квадрата каждая точка окружности сделает 4 оборота около своего центра. Центр окружности сделает четверть оборота около каждой вершины квадрата. За один обход центр окружности совершает путь, равный 5*2Па см. В случае треугольника — соответственно 3 оборота и 8П а см

Во время похода палатки расположились в т. А,В, и С. В каком месте удобно выбрать площадку для проведения общего костра, чтобы расстояние от него до палаток было одинаковым ?

Точка осей симметрии точек А и В и точек В и С будет искомой.

Две семьи выехали каждая на машине «Жигули» на прогулку одновременно из одного места. Обе семьи проехали на машинах одинаковые расстояния и вернулись домой в одно и то же время. В пути они отдыхали. Первая семья была в пути в двое больше времени, чем вторая. Вторая была в пути втрое больше времени. Чем отдыхала первая. Какая из этих семей двигалась на машине быстрее ?

1-я семья: 2х часов — время на езду, у часов — время на отдых. 2-я семья: 3у часов — время на езду, х часов — время на отдых 2х + у = 3у + х; х = 2у. Вторая семья отдыхала в два раза больше, чем первая следовательно, она ехала быстрее первой.

Сосуд имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Как, не делая никаких измерений и не имея других емкостей, наполнить водой ровно половину объема этого сосуда ?

Наклонить параллелепипед так, чтобы уровень воды находился по диагональному сечению параллелепипеда.