Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике | Олимпиадные задания по математике (5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 класс) на тему: | Образовательная социальная сеть

Методические рекомендации

Основные задачи

Одной из важнейших задач Олимпиады на начальных этапах является развитие

интереса у обучающихся к математике, формирование мотивации к систематическим

занятиям математикой на кружках и факультативах, повышение качества математического

образования. Важную роль здесь играет свойственное подростковому периоду стремление к

состязательности, к достижению успеха.

Порядок проведения

В олимпиаде имеет право принимать участие каждый обучающийся, в том числе вне зависимости от его успеваемости по предмету. Число мест в классах (кабинетах) должно обеспечивать самостоятельное выполнение заданий олимпиады каждым участником.

Рекомендуемое время проведения олимпиады: для 5-6 классов – 2 урока, для 7-8

классов – 3 урока, для 9-11 классов – 3-4 урока.

После опубликования предварительных результатов проверки олимпиадных работ

участники имеют право ознакомиться со своими работами, в том числе сообщить о своем

несогласии с выставленными баллами. В этом случае Председатель жюри школьной

олимпиады назначает члена жюри для повторного рассмотрения работы. При этом оценка по

работе может быть изменена, если запрос Участника об изменении оценки признается

обоснованным.

По результатам олимпиады создается итоговая таблица по каждой параллели.

Участники школьного этапа Олимпиады, набравшие наибольшее количество баллов в своей

параллели, признаются победителями школьного этапа Олимпиады.

Проверка и оценивание олимпиадных работ

 Для  единообразия  проверки  работ  Участников  в  разных  школах  необходимо включение  в  варианты  заданий  не  только  ответов  и  решений  заданий,  но  и  критериев оценивания работ.  Наилучшим  образом  зарекомендовала  себя  на  математических  олимпиадах  7-балльная  шкала,  действующая  на  всех  математических  соревнованиях  от  начального уровня до Международной математической олимпиады. Каждая задача оценивается целым числом баллов от 0 до 7. Итог подводится по сумме баллов, набранных Участником. Основные принципы оценивания приведены в таблице.  

Помимо  этого необходимо учесть, что:

а) любое правильное решение оценивается в 7 баллов. Недопустимо снятие баллов за то,  что  решение  слишком  длинное,  или  за  то,  что  решение  школьника  отличается  от приведенного  в  методических  разработках  или  от  других  решений,  известных  жюри;  при проверке работы важно вникнуть в логику рассуждений участника, оценивается степень ее правильности и полноты;

б) олимпиадная работа не является контрольной работой участника, поэтому любые исправления  в  работе,  в  том  числе  зачеркивание  ранее  написанного  текста,  не  являются основанием  для  снятия  баллов;  недопустимо  снятие  баллов  в  работе  за  неаккуратность записи решений при ее выполнении;

в) баллы не выставляются  «за старание Участника», в том числе за запись в работе большого по объему текста, но не содержащего продвижений в решении задачи;

г)  победителями  олимпиады  в  одной  параллели  могут  стать  несколько  участников, набравшие  наибольшее  количество  баллов,  поэтому  не  следует  в  обязательном  порядке «разводить по местам» лучших участников олимпиады.

Задания по математике  для школьного этапа олимпиады

9 класс

№ 1

9.1.   Петя в сутки тратит 1/3 своего времени на игру в футбол, 1/5 — на учебу в школе, 1/6 — на просмотр кинофильмов, 1/7 — на решение олимпиадных задач, и 1/3 — на сон. Можно ли так жить?

№ 2

9.2.Запишите число 10 с помощью семи «4», знаков арифметических

   действий и запятых.

№ 3

9.3.Четыре школьника сделали в магазине покупки: первый купил пенал и ластик, заплатив 40 рублей; второй купил ластик и карандаш, заплатив 12 рублей; третий купил пенал, карандаш и две тетради, заплатив 50 рублей; четвертый купил пенал и тетрадь. Сколько заплатил четвертый школьник?

№ 4

В прямоугольнике ABCD сторона AB равна 6, сторона BC равна 11. Из вершин B и C проведены биссектрисы углов, пересекающие сторону AD в точках X и Y соответственно. Найдите длину отрезка XY .

№ 5

Сократите дробь:  

Решения (9 класс)

9.1.   Петя в сутки  тратит 1/3 своего времени на игру в футбол, 1/5 — на учебу в школе, 1/6 — на просмотр кинофильмов, 1/7 — на решение олимпиадных задач, и 1/3 — на сон. Можно ли так жить?

Решение 

 Поскольку 1/5 1/6 > 1/3, то сумма данных дробей 1/3 1/5 1/6 1/7 1/3 > 1, что противоречит здравому смыслу. Нет, так жить нельзя.

9.2.Запишите число 10 с помощью семи «4», знаков арифметических

   действий и запятой.

Решение 

Например : 44,4:4 – 4,4:4 = 10

9.3 Четыре школьника сделали в магазине покупки: первый купил пенал и ластик, заплатив 40 рублей; второй купил ластик и карандаш, заплатив 12 рублей; третий купил пенал, карандаш и две тетради, заплатив 50 рублей; четвертый купил пенал и тетрадь. Сколько заплатил четвертый школьник?

Решение

1 и 2 мальчик –  купили пенал, 2 ластика и карандаш = 52 рубля.

   3 мальчик – 50 рублей – пенал, 2 тетради и карандашластик

    дороже тетради на 1 рубль. Пенал и ластик – 40 рублей;

    пенал и тетрадь – 39 рублей.

9.4 В прямоугольнике ABCD сторона AB равна 6, сторона BC равна 11. Из вершин B и C проведены биссектрисы углов, пересекающие сторону AD в точках X и Y соответственно. Найдите длину отрезка XY .

Ответ: 1.

Решение. Углы AXB и XBC равны как накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей BX. Углы XBC и XBA равны, так как BX — биссектриса угла ABC. Получаем, что ∠AXB = ∠XBA, откуда следует, что треугольник AXB — равнобедренный, AB = AX = 6;

XD = AD — AX = 11 — 6 = 5. Аналогично получаем, что AY = 5. Тогда XY = AD — AY — XD = 11 —5 — 5 = 1.

Критерии. Любое верное решение: 7 баллов.

Доказано, что AY = 5, но при этом длина отрезка XY не найдена или найдена неверно: 4 балла.

Доказано, что треугольник ABX равнобедренный и нет дальнейших продвижений: 2 балла.

Приведён только верный ответ: 0 баллов

9.5. Сократите дробь:  

Решение

.== х 2.        

Ключи школьной олимпиады по математике

11 класс

1. Сумма двух чисел равна 1. Может ли их произведение быть больше 0,3?

Ответ. Нет.

Решение. Обозначим первое число за x, тогда второе будет равно 1 – x, а их произведение . Максимальное значение данного квадратного трёхчлена достигается при x = 0,5 и составляет 0,25.

2. Отрезки AM и BH – соответственно медиана и высота треугольника ABC.

Известно, что AH = 1 и . Найти длину стороны BC.

Ответ. 2 см.

Решение. Проведём отрезок МН, он будет медианой прямоугольного треугольника BHC, проведённой к гипотенузе BC и равен её половине. Тогда  –  равнобедренный, поэтому , значит, , поэтому, AH = HM = MC = 1 и BC = 2MC = 2 см.

3. При каких значениях числового параметра а неравенство  верно при всех значениях х?

Ответ. .

Решение. При имеем 0″>, что неверно.

При -“>1 сократим неравенство на , сохраняя знак:

. Такое неравенство верно для всех х только при .

При <img src="https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=а сократим неравенство на , меняя знак на противоположный: . Но квадрат числа никогда не бывает отрицательным.

4. Есть один килограмм 20%-ного соляного раствора. Лаборант поместил колбу с этим раствором в аппарат, в котором выпаривается вода из раствора и одновременно с этим в него с постоянной скоростью, равной 300 г./ч., подливается 30%-ный раствор этой же соли. Скорость выпаривания также постоянна и составляет 200 г./ч. Процесс останавливается, как только в колбе окажется 40%-ный раствор. Какова будет масса полученного раствора?

Ответ. 1,4 килограмма.

Решение. Пусть t — время, в течение которого работал аппарат. Тогда по окончании работы в колбе получилось 1 (0,3 – 0,2)t = 1 0,1t кг. раствора. При этом масса соли в этом растворе равна 1 · 0,2 0,3 · 0,3 · t = 0,2 0,09t. Так как полученный раствор содержит 40% соли, получаем
0,2 0,09t = 0,4(1 0,1t), то есть 0,2 0,09t = 0,4 0,04t, отсюда t = 4 ч. Следовательно, масса полученного раствора равна 1 0,1 · 4 = 1,4 кг.

5. Сколькими способами среди всех натуральных чисел от 1 до 25 можно выбрать 13 различных так, чтобы сумма любых двух выбранных чисел не равнялась 25 или 26?

Ответ. Единственным.

Решение. Запишем все наши числа в следующем порядке: 25,1,24,2,23,3,…,14,12,13. Ясно, что любые два из них равны в сумме 25 или 26 тогда и только тогда, когда являются в этой последовательности соседними. Таким образом, среди выбранных нами тринадцати чисел не должно быть соседних, откуда сразу получаем, что это должны быть все члены этой последовательности с нечётными номерами – выбор единственный.

6. Пусть k – натуральное число. Известно, что среди 29 последовательных чисел 30k 1, 30k 2, …, 30k 29 имеется 7 простых. Докажите, что первое и последнее из них – простые.

Решение. Вычеркнем из этого ряда числа, кратные 2, 3 или 5. Останется 8 чисел: 30k 1, 30k 7, 30k 11, 30k 13, 30k 17, 30k 19, 30k 23, 30k 29. Допустим, что среди них есть составное число. Докажем, что это число кратно 7. Первые семь этих чисел дают разные остатки при делении на 7, т. к. числа 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23 дают разные остатки при делении на 7. Значит, одно из этих чисел кратно 7. Заметим, что число 30k 1 не кратно 7, иначе 30k 29 также будет кратно 7, а составное число должно быть ровно одно. Значит, числа 30k 1 и 30k 29 — простые.