Всероссийские олимпиады школьников по математике 1993-2006. Агаханов Н.Х. и др

Задания, ответы, разбор заданий регионального этапа 2022-2023 олимпиады по математике для 9, 10 и 11 классов, всероссийская олимпиада школьников ВСОШ проходила 13-14 февраля 2023 года. Результаты будут опубликованы скоро.

3. Пол в комнате прямоугольной формы размером 20 м на 15 м

нужно покрыть квадратными плитками со стороной 20см. Сколько

потребуется плиток?

4. Вася, Коля, Петя и Степаученики 4,5,6 и 7 классов, пошли по

грибы. Шестиклассник не нашел ни одного белого гриба, а Петя и

учение 4 класса нашли 8 штук. Вася и пятиклассник нашли много

подосиновиков. И позвали Николая. Семиклассник, шестиклассник и

Коля смеялись над Степой, сорвавшим мухомор. Кто в каком классе

5. Мальчики в классе составляют

учащихся всего класса.

числа составляют отличники. Сколько в классе девочек?

Ключи, критерии оценивания олимпиадных заданий школьного

этапа по математике

Время выполнения 45 мин

1. Ответ1 и 4023.

Указания по проверке:

— верные начальные рассуждения 1 балл,

— найден 1корень, но с недочетами – 2 балла,

— найден 1корень со всеми объяснениями – 3 балла,

— найдены 2 корня, но с недочетами – 4 балла,

—полное решение – 5 баллов.

Максимальное количество баллов за задание –

2. Ответ:

Указания по проверке:

— 1цифра –

— найдено 2цифры –2 балла,

— найдено 3 цифры –3 балла

— полное решение – 5 баллов.

Максимальное количество баллов за задание –

3.

Окружной и финальный этапы.

М.: 2007. — 472с. 

В книге приведены задачи заключительных (четвертого
и пятого) этапов Всероссийских математических олимпиад школьников 1993–2006
годов с ответами и полными решениями.

Все приведенные задачи являются авторскими. Многие
из них одновременно красивы и трудны, что отражает признанный в мире высокий
уровень российской олимпиадной школы. Часть задач уже стала олимпиадной
классикой.

Книга предназначена для подготовки к математическим
соревнованиям высокого уровня. Она будет интересна педагогам, руководителям
кружков и факультативов, школьникам старших классов. Для удобства работы
приведен тематический рубрикатор.

Формат:
pdf / zip

Размер:
 2,8 Мб

О том, как читать книги в форматах
,

— см. раздел «Программы; архиваторы; форматы

В «Сириусе» подвели итоги Пригласительного этапа Всероссийской олимпиады школьников по шести предметам: астрономии, химии, математике, физике, биологии и информатике. С 21 апреля по 27 мая 2022 года участие в испытаниях приняли почти 348 тысяч человек. Среди них были ученики 3–10 классов со всей страны и все желающие любого возраста. По сравнению с прошлым годом число участников выросло на 21,6%. 

Пригласительный этап позволяет выявить таланты и склонности к предметам у ребят еще до начала следующего учебного года, что позволит им использовать лето с пользой и углубить свои знания, настроиться на школьный этап ВсОШ. 

Участие в Пригласительном этапе не дает никаких привилегий на ВсОШ, однако помогает познакомиться с платформой, на которой проводится соревнование, и с примерами олимпиадных задач, а значит, у школьников появляется возможность за лето углубиться в изучение нужного предмета и подойти к новому олимпиадному сезону более подготовленными. 

Олимпиада прошла на технологической платформе «Сириус.Курсы». 

В этом году в Пригласительном этапе приняли участие представители всех регионов . Для жителей он проходил по 24 предметам, туры по шести естественнонаучным предметам проводились синхронизировано с остальными регионами по тем же заданиям. Участниками шести туров в стали 137 068 человек. Среди российских регионов лидером по числу участников стала , от которой на олимпиаде выступило 31 582 человека.

Олимпиадные задания составляли 92 эксперта, среди которых кандидаты и доктора наук, члены центральных предметно-методических комиссий, тренеры сборных ВсОШ, научные сотрудники, лаборанты, заведующие и ассистенты кафедр, преподаватели и эксперты Образовательного центра «Сириус», победители, призеры ВсОШ и международных олимпиад и многие другие. Полный список экспертов представлен на сайте Образовательного центра «Сириус».

Важно отметить, что задания Пригласительного этапа разрабатывает та же команда экспертов, что и на школьном.

В настоящее время на платформе «Сириуса» уже опубликованы текстовые и видеоразборы. Результаты доступны для участников по ссылке из заявки в личном кабинете. Грамоты участников и сертификаты доступны также по ссылкам из личного кабинета.

Всероссийская олимпиада школьников проводится ежегодно по 24 предметам. В 2020 году Сириус впервые организовал Пригласительный этап по естественнонаучным дисциплинам в онлайн-формате. За три года в нем приняли участие более миллиона человек. Вся информация об этом этапе опубликована на сайте siriusolymp.ru, для участников из – vos.olimpiada.ru/2022/invite. 

Всероссийские олипиады школьников по математике 1993 — 2006 — Агаханов Н.Х. и др — 2007

   В книге приведены задачи заключительных (четвертого и пятого) этапов Всероссийских математических олимпиад школьников 1993–2006 годов с ответами и полными решениями.
   Все приведенные задачи являются авторскими. Многие из них одновременно красивы и трудны, что отражает признанный в мире высокий уровень российской олимпиадной школы. Часть задач уже стала олимпиадной классикой.
   Книга предназначена для подготовки к математическим соревнованиям высокого уровня. Она будет интересна педагогам, руководителям кружков и факультативов, школьникам старших классов. Для удобства работы приведен тематический рубрикатор.

Окружной этап    1992–1993

этап олимпиады   1993–1994

Окружной этап    1992–1993

этап олимпиады   1993–1994

Дата публикации: 17.08.2010 09:01 UTC

Следующие учебники и книги:

Муниципальный этап Всероссийской олимпиады школьников

Максимальный балл

1. Решите задачу (7 баллов)

Петя и Вася едут в соседних вагонах поезда. Вагон, в котором едет Петя, – седьмой от

«головы» поезда, а вагон, в котором едет Вася, – десятый с «хвоста». Сколько вагонов в

2. Решите задачу (7 баллов)

К бабушке на каникулы приехали внуки (все мальчики) – дети двух её дочерей. Один

внук сказал: «Здесь у меня братьев вдвое больше, чем дома», а другой ответил: «А у меня их

здесь втрое больше»! Сколько внуков у бабушки?

3. Решите задачу (7 баллов)

В треугольнике биссектрисы углов пересекаются под углом 91°. Чему

равен угол

4. Решите задачу (7 баллов)

Можно ли квадрат разрезать на 9 квадратов и раскрасить их так, чтобы получились 1

белый, 3 синих и 5 красных квадратов, причём квадраты одинакового цвета были

одинакового размера, а квадраты разного цвета – разного размера?

5. Решите задачу (7 баллов)

Какое наибольшее число натуральных чисел от 1 до 2010 можно выбрать так, чтобы

среди них не было двух чисел, одно из которых вдвое больше другого?

Примерные варианты решений и оценка задач

Муниципального этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике

1. Петя и Вася едут в соседних вагонах поезда. Вагон, в котором едет Петя, – седьмой

от «головы» поезда, а вагон, в котором едет Вася, – десятый с «хвоста». Сколько вагонов в

Решение. Если Петя ближе к «голове» поезда, чем Вася, то в поезде 7 + 10 = 17

вагонов. Если же ближе к «голове» поезда Вася, то вагонов будет 7 + – 2 15.

Замечание по оцениванию. За рассмотрение только одного случая — 2 балла. Полное

решение — 7 баллов.

2. К бабушке на каникулы приехали внуки (все мальчики) – дети двух её дочерей.

Один внук сказал: «Здесь у меня братьев вдвое больше, чем дома», а другой ответил: «А у

меня их здесь втрое больше»! Сколько внуков у бабушки?

Решение. Пусть у дочерей соответственно сыновей. Из высказываний детей

следуют равенства х + у –= 2(х – 1) и х + у –3(у – 1). Решение системы даёт

х у

Ответ:

Замечание по оцениванию. Если ответ угадан (с обоснованиями типа «если у первой

дочери 4 сына, а у второй 3 сына, то условие задачи выполнено»), но не доказана его

единственность — 3 балла. Полное решение — 7 баллов.

3. В треугольнике биссектрисы углов пересекаются под углом 91°. Чему

равен угол

Решение. Пусть точка пересечения биссектрис. Из треугольника

=−=+

Поскольку биссектрисы,

=+=+

Наконец, из треугольника получаем

Замечание по оцениванию. Полное решение — 7 баллов.

4. Можно ли квадрат разрезать на 9 квадратов и раскрасить их так, чтобы получились

1 белый, 3 синих и 5 красных квадратов, причём квадраты одинакового цвета были

одинакового размера, а квадраты разного цвета – разного размера?

Решение. Пример требуемого разрезания — на рис.

Замечание по оцениванию. Полное решение — 7 баллов.

5. Какое наибольшее число натуральных чисел от 1 до 2010 можно выбрать так,

среди них не было двух чисел, одно из которых вдвое больше другого?

Решение. Все числа от 1 до 2010 можно разбить на цепочки вида

где а нечётное число. Из каждой цепочки нельзя брать соседние числа. Поэтому если из

каждой цепочки мы будем брать числа через одно, начиная с первого, то получим

максимальное количество чисел, удовлетворяющих условию задачи. Таким образом, будут

выбраны все нечётные числа (их 1005) и все числа вида 4а, 16а, 64а, 256а, 1024а, где а

нечётное число. Количество чисел вида 4а можно найти, решая неравенство 4(2≤

чисел других видов. Их соответственно 63, 16, 4 и 1. Всего имеем 1005 + 251 + 63+ 16 + 4 +

1 = 1340 чисел.

Замечание по оцениванию. Если получен правильный ответ, но не доказано, что

большего количества чисел выбрать нельзя, 4 балла. Полное решение — 7 баллов.

Региональный этап 2022 олимпиады по математике 9, 10, 11 класс официальные ответы, задания и разбор задач всероссийской математической олимпиады школьников ВСОШ, официальная дата проведения олимпиады: с 4 по 5 февраля 2022 года.

8 класс, 9 класс, 10 класс, 11 класс

Ответы и решения: 8 класс, 9-11 класс 1 день, 2 день

Региональный этап 2022 олимпиады по математике 9 10 11 класс задания и ответы 1 дня:

Задания и решения 2 дня:

Интересные задания с олимпиады:

1)Как без остатка разрезать клетчатый квадрат размером 8х8 клеточек на 10 клетчатых прямоугольников, чтобы все прямоугольники имели различные площади? Все разрезы должны проходить по границам клеточек.

2)Учитель придумал ребус, заменив в примере a+b = c на сложение двух натуральных чисел цифры буквами: одинаковые цифры одинаковыми буквами, а разные — разными (например, если a = 23, а b = 528, то c = 551, и получился, с точностью до выбора букв, ребус АБ+ВАГ = ВВД). Оказалось, что по получившемуся ребусу однозначно восстанавливается исходный пример. Найдите наименьшее возможное значение суммы c.

3)В треугольнике ABC проведены биссектрисы BK и CL. На отрезке BK отмечена точка N так, что LN ∥ AC. Оказалось, что NK = LN. Найдите величину угла ABC.

5)При каком наибольшем n существует выпуклый n-угольник, у которого длины диагоналей принимают не больше двух различных значений?

6)Сумма остатков от деления трёх последовательных натуральных чисел на 2022 ⎯ простое число. Докажите, что одно из чисел делится на 2022.

7)Существует ли треугольник, у которого длины не совпадающих между собой медианы и высоты, проведенных из одной его вершины, соответственно равны длинам двух сторон этого треугольника?

8)Будем называть натуральное число красивым, если в его десятичной записи поровну цифр 0, 1, 2, а других цифр нет (во избежание недоразумений напомним, что десятичная запись числа не может начинаться с нуля). Может ли произведение двух красивых чисел быть красивым?

9)Петя и Вася написали на доске по 100 различных натуральных чисел. Петя поделил все свои числа на Васины с остатком и выписал все 10000 получившихся остатков себе в тетрадь. Вася поделил все свои числа на Петины с остатком и выписал все 10000 получившихся остатков себе в тетрадь. Оказалось, что наборы выписанных Васей и Петей остатков совпадают. Докажите, что тогда и наборы их исходных чисел совпадают.

11)Однажды на перемене Вася выписал на листке десять натуральных чисел. Все написанные числа попарно различны. Известно, что из этих десяти чисел можно выбрать три числа, делящихся на 5. Также известно, что из написанных десяти чисел можно выбрать четыре числа, делящихся на 4. Может ли сумма всех написанных на доске чисел быть меньше 75?

12)На доске девять раз (друг под другом) написали некоторое натуральное число N . Петя к каждому из 9 чисел приписал слева или справа одну ненулевую цифру; при этом все приписанные цифры различны. Какое наибольшее количество простых чисел могло оказаться среди 9 полученных чисел?

13)В компании некоторые пары людей дружат (если A дружит с B , то и B дружит с A ). Оказалось, что среди каждых 100 человек в компании количество пар дружащих людей нечётно. Найдите наибольшее возможное количество человек в такой компании.

15)На доске написаны три последовательных нечётных числа. Может ли сумма остатков от деления этих трёх чисел на 2022 равняться некоторому простому числу?

Региональный этап 2020 по математике задания, ответы и результаты олимпиады

Региональный этап 2021 ВОШ олимпиады по математике 8, 9, 10, 11 класс задания и ответы

ПОДЕЛИТЬСЯ МАТЕРИАЛОМ

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике

2019-2020 учебный год, 7 класс

ЗАДАНИЯ (1 вариант)

1.Сколько имеется четырёхзначных чисел, которые делятся на 45, а две средние цифры в которых 9 и 7?

2.Морская вода содержит 5% соли. Сколько килограмм пресной воды нужно добавить к 40 кг морской воды, чтобы содержание соли в смеси составило 2%?

3.Теплоход проходит путь между двумя пристанями по течению за 3 часа, а возвращается обратно за 4 часа. За какое время плот преодолеет это расстояние?

4.От прямоугольника 324х141см отрезают несколько квадратов со стороной в 141 см, пока не останется прямоугольник, у которого длина одной стороны меньше 141 см. От полученного прямоугольника отрезают квадраты, стороны которых равны по длине его меньшей стороне, до тех пор, пока это возможно, и т.д. Какова длина стороны последнего отрезанного квадрата?

5.Руководитель математического кружка нашёл ошибку в совместной работе трёх учеников: Дмитрия, Ильи и Алексея. На занятии кружка они стали оправдываться.

Илья.1) Не я ошибся. 2)Ошибку допустил Алексей.  3)Я написал другую часть работы.

Дмитрий. 1) Ошибку сделал Алёша. 2) Я знаю, как её исправить.  3)Ошибались и великие математики.

Алексей. 1)Не я ошибся. 2) Я давно подозревал, что здесь что-то не так. 3) Илья действительно писал другую часть работы.

Руководитель кружка знал, что два из трёх утверждений каждого верны, а одно — неверно. Кто из учеников допустил в работе ошибку?

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике

2019-2020 учебный год, 7 класс

ЗАДАНИЯ (2 вариант)

1.Можно ли число 203 представить в виде суммы нескольких натуральных чисел так, чтобы произведение всех этих чисел тоже было равно 203?

2.Ученику прислали задание, состоящее из 20 задач. За каждую верно решённую задачу ему ставят 8 баллов, за каждую неверно решённую – минус 5 баллов, за задачу, за которую он не брался решать – 0 баллов. Ученик получил в сумме 13 баллов. Сколько задач  он брался решать?

3.Фонтан на площади города связан с часами на башне: он работает, когда хотя бы одна из стрелок часов находится между цифрами 3 и 4 или между цифрами 8 и 9. Сколько времени в течение суток этот фонтан работает?

4. Свежая вишня содержала 99% воды. После усушки влажность составила 98%. На сколько процентов надо поднять цену подсушенной вишни, чтобы выручить намеченную прежде сумму?

5.О натуральном числе Х получено 5 сообщений:

1) Х — двузначное число, 2) Х делится на 5, 3) Х не больше 14, 4) Х является квадратом целого числа, 5) Х — нечётное число. Известно, что четыре из этих сообщений истинны, а одно ложно. Чему равно Х?

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике

2019-2020 учебный год, 7 класс

РЕШЕНИЯ (1 вариант)

1.Ответ: 2790, 2970, 6795, 6975.

Четырёхзначное число, средние цифры которого 9 и 7, имеет вид: *97* или *79*. Так как число должно делиться на 45, значит оно должно делиться на 5 и 9( так как 45=5х9). Значит, эти четырёхзначные числа оканчиваются на 5 или 0 ( т.к. делятся на 5). Т.е. имеют вид: *970, *790, *795, *975. Но они делятся и на 9, значит, сумма цифр тоже делится на 9. 9+7=16, не хватает 2. 7+9+5=21, не хватает 6. Значит, эти числа 2970, 2790, 6795, 6975.

2.Ответ: 60 кг.

Пусть добавили Х кг пресной воды. Масса смеси (Х+40) кг. Первоначально в морской воде было 40х0,05=2 кг соли. В смеси стало (Х+40)0,02 кг соли и так как её количество осталось неизменным, то

3. Ответ: 24 часа.

Пусть х км/ч — собственная скорость теплохода, а у км/ч скорость течения. За 3 часа по течению теплоход пройдёт 3(х+у) км, а за 4 часа против течения

 4(х-у) км. Так как теплоход проходит одинаковое расстояние, то

Найдём расстояние между пристанями 3(7у+у)=24у. Так как у км/час – это скорость течения, а, значит и скорость плота, то ему потребуется 24 часа, чтобы преодолеть расстояние 24у км.

4.Ответ: 3 см.

Сначала отрежем 2 квадрата со стороной 141 см, т.к. 324=141х2+42. Остаётся прямоугольник с размерами 141см и 42 см. Теперь отрезаем квадраты со стороной 42 см, можем отрезать 3 таких квадрата, т.к. 141=42х3+15. Остаётся прямоугольник со сторонами 42 см и 15 см. Отрезаем квадраты со стороной 15 см, их отрезаем 2, т.к. 42=15х2+12. Остаётся прямоугольник со сторонами 15 см и 12 см. Далее отрезаем квадраты со стороной 12 см, можем отрезать 1, т.к.15=12х1+3. Остаётся прямоугольник со сторонами 12см и 3см.  Осталось отрезать квадраты со стороной 3 см, их можем отрезать 4, т.к. 12=3х4.

5. Ответ: Дмитрий.

Предположим, что ошибся Илья. Тогда неверны сразу два первых его высказывания, а это противоречит условию задачи. Значит, ошибиться Илья не мог.

Предположим, что ошибся Дмитрий. Тогда первое его утверждение неверно, а два других верно. Т.е. противоречий с условием нет, значит, Дмитрий мог ошибиться.

Составим таблицу. Знаком «_»отметим заведомо  неверные высказывания, а знаком «+» те, которые могут быть верными.

Предположим, что ошибся Алексей. Тогда неверно третье высказывание Ильи, т.к. два первых его высказывания верны, поэтому неверно третье высказывание Алексея (оно точно такое же).  Тогда верно первое высказывание Алексея (только одно из его высказываний-третье-неверное), а это противоречит предположению. Т.е. Алексей ошибиться не мог.

Значит, ошибся Дмитрий.

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике

2019-2020 учебный год, 7 класс

РЕШЕНИЯ (2 вариант)

2. Ответ: Ученик брался решать 13 задач.

Пусть х – количество верно решённых задач, а у – неправильно решённых задач. Баллы, которые набрал ученик 8х-5у=13. Преобразуем уравнение так, чтобы выделить в нём сумму х+у (количество задач, к которым приступал ученик). 8(х+у)=13(1+у). Т.к. 8 не делится на 13, то сумма (х+у) делится на 13 и по условию х+у  не больше 20. Поэтому х+у=13. Тогда х=6, а у=7, т.к. 1+у =8.

3. Ответ: 7 часов 20 минут

Рассмотрим часовую стрелку. В течение суток часовая стрелка попадает между цифрами 3 и 4, 8 и 9 четыре раза по 1 часу. Значит, фонтан будет работать в течение 4 часов.

Рассмотрим минутную стрелку. В течение 1 часа минутная стрелка попадает между цифрами 3 и 4, 8 и 9 два раза по 5 минут. Т.к. в сутках 24 часа, исключаем 4 часа, т.к. фонтан уже работает ( там уже будет часовая стрелка и фонтан будет работать), то 20 х10 мин=200 мин=3 часа 20 мин.

Значит, фонтан будет работать 4 часа+3 часа 20мин=7 часов 20 мин.

4. Ответ: на 100%

Пусть было х кг вишни. Твёрдая масса вишни ( без воды) составляет 0,01х кг. Это количество после усушки составляет 2% массы вишни. Значит, вся вишня после усушки весит 0,01х:0,02=0,5х кг. Т.е. вишня потеряла после усушки половину своей массы. Чтобы выручить намеченную сумму, надо поднять цену в два раза, т.е. увеличит на 100%.

Допустим, что первое утверждение ложно, тогда оставшиеся четыре верные. Но получаем противоречие, т.к. число, не большее 14, не может быть точным квадратом и делиться на 5. Значит, первое утверждение верно.

Допустим, что второе утверждение ложное. Опять получаем противоречие, т.к. двузначное число, не больше 14, не может быть точным квадратом. Значит, второе утверждение тоже верно.

Допустим, что третье утверждение ложное. Тогда двузначное число, которое делится на 5 и является квадратом целого числа это 25 и оно нечётное. Такое двузначное число единственное. Значит, третье утверждение может быть ложным.

Допустим, что четвёртое утверждение ложно. Тогда А — двузначное число, не больше 14, которое делится на 5. Это число 10. Это противоречит пятому утверждению. Значит, четвёртое утверждение тоже верно.

Допустим, что пятое утверждение ложно, а все остальные верные. Получаем противоречие, т.к. двузначное число, не больше 14, не может быть квадратом целого числа. Значит, пятое утверждение не может быть ложным.

Остаётся единственное решение: третье утверждение ложное, остальные истинны. Это число 25.

Критерии оценивания олимпиадных заданий

Задания математических олимпиад являются творческими, допускают несколько различных вариантов решений.

В соответствии с регламентом проведения математических олимпиад каждая задача оценивается из 7 баллов.

Соответствие правильности решения и выставляемых баллов приведено в таблице.

а) любое правильное решение оценивается в 7 баллов. Недопустимо снятие баллов за то, что решение слишком длинное, или за то, что решение школьника отличается от приведенного в методических разработках или от других решений, известных жюри; при проверке работы важно вникнуть в логику рассуждений участника, оценивается степень ее правильности и полноты;

б) олимпиадная работа не является контрольной работой участника, поэтому любые исправления в работе, в том числе зачеркивание ранее написанного текста, не являются основанием для снятия баллов; недопустимо снятие баллов в работе за неаккуратность записи решений при ее выполнении;

в) баллы не выставляются «за старание Участника», в том числе за запись в работе большого по объему текста, но не содержащего продвижений в решении задачи;

г) победителями олимпиады в одной параллели могут стать несколько участников, набравшие наибольшее количество баллов, поэтому не следует в обязательном порядке «разводить по местам» лучших участников олимпиады.

Литература для подготовки к математическим олимпиадам 

благодарю сайт www.diary.ru за материалы

Ответы и решения олимпиады

• Ответы для 9 класса

• Ответы для 10 класса

• Ответы для 11 класса

• Критерии оценивания заданий

Задания олимпиады

• 9 класс

• 10 класс

• 11 класс

Видео разбор решение заданий олимпиады

9 класс

9.1. Велодорожка состоит из двух участков: сначала идет асфальтовый, а затем песчаный. Петя и Вася стартовали порознь (сначала Петя, а затем Вася), и каждый проехал всю дорожку. Скорость каждого мальчика на каждом из двух участков была постоянной. Оказалось, что они поравнялись в середине асфальтового участка, а также в середине песчаного. Кто из мальчиков затратил на всю дорожку меньше времени?

9.2. Дан бумажный треугольник, длины сторон которого равны 5 см, 12 см и 13 см. Можно ли разрезать его на несколько (больше одного) многоугольников, у каждого из которых площадь (измеренная в см2 ) численно равна периметру (измеренному в см)?

9.3. Дано натуральное число n. На клетчатой доске 2n×2n расставили 2n ладей так, что никакие две не стоят в одной горизонтали или одной вертикали. После этого доску разрезали по линиям сетки на две связных части, симметричных друг другу относительно центра доски. Какое наибольшее количество ладей могло оказаться в одной из частей? (Клетчатая фигура называется связной, если по этой фигуре от любой ее клетки можно добраться до любой другой, переходя каждый раз в соседнюю по стороне клетку.)

9.4. Даны натуральные числа a, b и c. Ни одно из них не кратно другому. Известно, что число abc + 1 делится на ab − b + 1. Докажите, что c > b.

9.5. Четырехугольник ABCD вписан в окружность γ. Оказалось, что окружности, построенные на отрезках AB и CD как на диаметрах, касаются друг друга внешним образом в точке S. Пусть точки M и N — середины отрезков AB и CD соответственно. Докажите, что перпендикуляр ` к прямой MN, восставленный в точке M, пересекает прямую CS в точке, лежащей на γ.

9.6. Для натурального числа n обозначим через Sn наименьшее общее кратное всех чисел 1, 2, …, n. Существует ли такое натуральное число m, что Sm+1 = 4Sm?

9.10. Куб 100 × 100 × 100 разбит на миллион единичных кубиков; в каждом кубике расположена лампочка. Три грани большого куба, имеющие общую вершину, окрашены: одна красным, другая синим, а третья зеленым. Назовем столбцом набор из 100 кубиков, образующих блок 1 × 1 × 100. У каждого из 30 000 столбцов есть одна окрашенная торцевая клетка; в этой клетке стоит переключатель — нажатие на этот переключатель меняет состояние всех 100 лампочек в столбце (выключенная лампочка включается, а включенная выключается). Изначально все лампочки были выключены. Петя нажал на несколько переключателей, получив ситуацию, в которой ровно k лампочек горят. Докажите, что после этого Вася может нажать на несколько переключателей так, чтобы ни одна лампочка не горела, использовав не более k/100 переключателей с красной грани.

10 класс

10.1. В таблице 6 × 6 изначально записаны нули. За одну операцию можно выбрать одну клетку и заменить число, стоящее в ней, на любое целое число. Можно ли за 8 операций получить таблицу, в которой все 12 сумм чисел в строках и столбцах будут различными положительными числами?

10.2. Дан бумажный треугольник, длины сторон которого равны 5 см, 12 см и 13 см. Можно ли разрезать его на несколько (больше одного) многоугольников, у каждого из которых площадь (измеренная в см2 ) численно равна периметру (измеренному в см)?

10.3. В городе N прошли 50 городских олимпиад по разным предметам, при этом в каждой из этих олимпиад участвовало ровно 30 школьников, но не было двух олимпиад с одним и тем же составом участников. Известно, что для любых 30 олимпиад найдется школьник, который участвовал во всех этих 30 олимпиадах. Докажите, что найдется школьник, который участвовал во всех 50 олимпиадах.

10.4. Даны натуральные a, b, c такие, что a > 1, b > c > 1, а число abc+ 1 делится на ab−b+ 1. Докажите, что b делится на a.

10.5. В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BD и отмечена точка пересечения высот H. Серединный перпендикуляр к отрезку HD пересекает окружность, описанную около треугольника BCD, в точках P и Q. Докажите, что ∠AP B + ∠AQB = 180◦ .

10.6. Для натурального числа n обозначим через Sn наименьшее общее кратное всех чисел 1, 2, …,n . Существует ли такое натуральное число m, что Sm+1 = 4Sm?

10.7. Петя взял некоторые трехзначные натуральные числа a0 ,a1 , . .. ,a9 и написал на доске уравнение a9x 9 + a8x 8 + . . .+ a2x 2 + a1x + a0 = ∗. Докажите, что Вася сможет вместо звездочки написать некоторое 30-значное натуральное число так, чтобы получившееся уравнение имело целый корень.

10.8. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. На стороне AB выбрана точка L так, что AL = CK. Отрезки AK и CL пересекаются в точке M. На продолжении отрезка AD за точку D отмечена точка N. Известно, что четырехугольник ALMN — вписанный. Докажите, что ∠CNL = 90◦ .

10.9. Дано натуральное число k. Вдоль дороги стоят n столбов через равные промежутки. Миша покрасил их в k цветов и для каждой пары одноцветных столбов, между которыми нет других столбов того же цвета, вычислил расстояние между ними. Все эти расстояния оказались различны. При каком наибольшем n так могло оказаться?

11 класс

11.1. Можно ли число 2023 представить в виде суммы трех натуральных чисел a, b, c таких, что a делится на b + c и b + c делится на b − c + 1?

11.2. Даны различные вещественные числа a1 , a2 , a3 и b. Оказалось, что уравнение (x − a1 )(x − a2 )(x − a3 ) = b имеет три различных вещественных корня c1 , c2 , c3 . Найдите корни уравнения (x + c1 )(x + c2 )(x + c3 ) = b.

11.3. В городе N прошли 50 городских олимпиад по разным предметам, при этом в каждой из этих олимпиад участвовало ровно 30 школьников, но не было двух олимпиад с одним и тем же составом участников. Известно, что для любых 30 олимпиад найдется школьник, который участвовал во всех этих 30 олимпиадах. Докажите, что найдется школьник, который участвовал во всех 50 олимпиадах.

11.4. На доску записывают пары чисел. Сначала на доску записали пару чисел (1, 2). Если на доске написана пара чисел (a, b), то на доску можно дописать пару (−a, −b), а также пару (−b, a + b). Кроме того, если на доске написаны пары чисел (a, b) и (c, d), то на доску можно дописать пару (a + c, b + d). Могла ли через некоторое время на доске оказаться пара (2022, 2023)? Порядок чисел в паре существенен, например, пары чисел (1, 2) и (2, 1) считаются различными.

11.5. В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC проведена высота AH, медиана AM, а также отмечен центр O его описанной окружности ω. Отрезки OH и AM пересекаются в точке D, прямые AB и CD — в точке E, прямые BD и AC — в точке F. Лучи EH и F H пересекают окружность ω в точках X и Y . Докажите, что прямые BY , CX и AH пересекаются в одной точке.

11.6. Для натурального числа n обозначим через Sn наименьшее общее кратное всех чисел 1, 2,. . ., n. Существует ли такое натуральное число m, что Sm+1 = 4Sm?

11.7. Назовем два числа почти равными, если они равны или отличаются друг от друга не более, чем на единицу. Верно ли, что из любого прямоугольника с натуральными сторонами можно вырезать какой-нибудь прямоугольник с натуральными сторонами, площадь которого почти равна половине площади исходного прямоугольника? Стороны вырезаемого прямоугольника не обязательно параллельны сторонам исходного прямоугольника.

11.8. Точка O — центр описанной окружности остроугольного неравнобедренного треугольника ABC. На биссектрисе угла ABC внутри треугольника ABC отмечена точка D, а на отрезке BD — точка E так, что AE = BE и BD = CD. Точки P и Q — центры окружностей, описанных около треугольников AOE и COD соответственно. Докажите, что точки A, C, P и Q лежат на одной прямой или на одной окружности.

11.10. В стране 2n городов (n — натуральное), некоторые из них соединены двусторонними беспосадочными авиалиниями. Из любого города можно попасть в любой другой, возможно, с пересадками. Президент хочет разделить страну на две области и включить каждый город в одну из двух областей. При этом авиалинии разделятся на k межобластных и m внутриобластных. Докажите, что президент может добиться того, чтобы выполнялось неравенство k − m > n.

Посмотреть задания и ответы заключительного этапа ВСОШ

Заключительный этап 2022 по математике задания и ответы олимпиады для 9 10 11 класса

ПОДЕЛИТЬСЯ МАТЕРИАЛОМ