- Задания по математике для школьного этапа олимпиады 9 класс. | олимпиадные задания по математике (9 класс): | образовательная социальная сеть
- Задания по олимпиаде ( математика 9-11 классы) | олимпиадные задания по математике (9, 10, 11 класс): | образовательная социальная сеть
- Олимпиады по математике 9 класс
Задания по математике для школьного этапа олимпиады 9 класс. | олимпиадные задания по математике (9 класс): | образовательная социальная сеть
Методические рекомендации
Основные задачи
Одной из важнейших задач Олимпиады на начальных этапах является развитие
интереса у обучающихся к математике, формирование мотивации к систематическим
занятиям математикой на кружках и факультативах, повышение качества математического
образования. Важную роль здесь играет свойственное подростковому периоду стремление к
состязательности, к достижению успеха.
Порядок проведения
В олимпиаде имеет право принимать участие каждый обучающийся, в том числе вне зависимости от его успеваемости по предмету. Число мест в классах (кабинетах) должно обеспечивать самостоятельное выполнение заданий олимпиады каждым участником.
Рекомендуемое время проведения олимпиады: для 5-6 классов – 2 урока, для 7-8
классов – 3 урока, для 9-11 классов – 3-4 урока.
После опубликования предварительных результатов проверки олимпиадных работ
участники имеют право ознакомиться со своими работами, в том числе сообщить о своем
несогласии с выставленными баллами. В этом случае Председатель жюри школьной
олимпиады назначает члена жюри для повторного рассмотрения работы. При этом оценка по
работе может быть изменена, если запрос Участника об изменении оценки признается
обоснованным.
По результатам олимпиады создается итоговая таблица по каждой параллели.
Участники школьного этапа Олимпиады, набравшие наибольшее количество баллов в своей
параллели, признаются победителями школьного этапа Олимпиады.
Проверка и оценивание олимпиадных работ
Для единообразия проверки работ Участников в разных школах необходимо включение в варианты заданий не только ответов и решений заданий, но и критериев оценивания работ. Наилучшим образом зарекомендовала себя на математических олимпиадах 7-балльная шкала, действующая на всех математических соревнованиях от начального уровня до Международной математической олимпиады. Каждая задача оценивается целым числом баллов от 0 до 7. Итог подводится по сумме баллов, набранных Участником. Основные принципы оценивания приведены в таблице.
Помимо этого необходимо учесть, что:
а) любое правильное решение оценивается в 7 баллов. Недопустимо снятие баллов за то, что решение слишком длинное, или за то, что решение школьника отличается от приведенного в методических разработках или от других решений, известных жюри; при проверке работы важно вникнуть в логику рассуждений участника, оценивается степень ее правильности и полноты;
б) олимпиадная работа не является контрольной работой участника, поэтому любые исправления в работе, в том числе зачеркивание ранее написанного текста, не являются основанием для снятия баллов; недопустимо снятие баллов в работе за неаккуратность записи решений при ее выполнении;
в) баллы не выставляются «за старание Участника», в том числе за запись в работе большого по объему текста, но не содержащего продвижений в решении задачи;
г) победителями олимпиады в одной параллели могут стать несколько участников, набравшие наибольшее количество баллов, поэтому не следует в обязательном порядке «разводить по местам» лучших участников олимпиады.
Задания по математике для школьного этапа олимпиады
9 класс
№ 1
9.1. Петя в сутки тратит 1/3 своего времени на игру в футбол, 1/5 — на учебу в школе, 1/6 — на просмотр кинофильмов, 1/7 — на решение олимпиадных задач, и 1/3 — на сон. Можно ли так жить?
№ 2
9.2.Запишите число 10 с помощью семи «4», знаков арифметических
действий и запятых.
№ 3
9.3.Четыре школьника сделали в магазине покупки: первый купил пенал и ластик, заплатив 40 рублей; второй купил ластик и карандаш, заплатив 12 рублей; третий купил пенал, карандаш и две тетради, заплатив 50 рублей; четвертый купил пенал и тетрадь. Сколько заплатил четвертый школьник?
№ 4
В прямоугольнике ABCD сторона AB равна 6, сторона BC равна 11. Из вершин B и C проведены биссектрисы углов, пересекающие сторону AD в точках X и Y соответственно. Найдите длину отрезка XY .
№ 5
Сократите дробь: 
Решения (9 класс)
9.1. Петя в сутки тратит 1/3 своего времени на игру в футбол, 1/5 — на учебу в школе, 1/6 — на просмотр кинофильмов, 1/7 — на решение олимпиадных задач, и 1/3 — на сон. Можно ли так жить?
Решение
Поскольку 1/5 1/6 > 1/3, то сумма данных дробей 1/3 1/5 1/6 1/7 1/3 > 1, что противоречит здравому смыслу. Нет, так жить нельзя.
9.2.Запишите число 10 с помощью семи «4», знаков арифметических
действий и запятой.
Решение
Например : 44,4:4 – 4,4:4 = 10
9.3 Четыре школьника сделали в магазине покупки: первый купил пенал и ластик, заплатив 40 рублей; второй купил ластик и карандаш, заплатив 12 рублей; третий купил пенал, карандаш и две тетради, заплатив 50 рублей; четвертый купил пенал и тетрадь. Сколько заплатил четвертый школьник?
Решение
1 и 2 мальчик – купили пенал, 2 ластика и карандаш = 52 рубля.
3 мальчик – 50 рублей – пенал, 2 тетради и карандаш
дороже тетради на 1 рубль. Пенал и ластик – 40 рублей;
пенал и тетрадь – 39 рублей.
9.4 В прямоугольнике ABCD сторона AB равна 6, сторона BC равна 11. Из вершин B и C проведены биссектрисы углов, пересекающие сторону AD в точках X и Y соответственно. Найдите длину отрезка XY .
Ответ: 1.
Решение. Углы AXB и XBC равны как накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей BX. Углы XBC и XBA равны, так как BX — биссектриса угла ABC. Получаем, что ∠AXB = ∠XBA, откуда следует, что треугольник AXB — равнобедренный, AB = AX = 6;
XD = AD — AX = 11 — 6 = 5. Аналогично получаем, что AY = 5. Тогда XY = AD — AY — XD = 11 —5 — 5 = 1.
Критерии. Любое верное решение: 7 баллов.
Доказано, что AY = 5, но при этом длина отрезка XY не найдена или найдена неверно: 4 балла.
Доказано, что треугольник ABX равнобедренный и нет дальнейших продвижений: 2 балла.
Приведён только верный ответ: 0 баллов
9.5. Сократите дробь:
Решение
.
Задания по олимпиаде ( математика 9-11 классы) | олимпиадные задания по математике (9, 10, 11 класс): | образовательная социальная сеть
Олимпиада по математике 9 класс
- Цифры от 1 до 9 нужно разместить в фигуре на рис.1 так, чтобы одна цифра была в центре восьмиугольника, другие – у концов каждой диагонали и сумма каждого ряда составляла 15.
2. У любителя головоломок спросили, сколько ему лет? Ответ был замысловатый: «Возьмите трижды мои годы через три года, да отнимите трижды мои годы три года назад, – у вас как раз и получается мои годы». Сколько же ему теперь лет?
3. Разрезать прямоугольник по прямой линии на две части, из которых можно сложить треугольник.
- Крестьянин, покупая товары, сначала уплатил первому купцу половину своих денег и еще один рубль; потом уплатил второму купцу половину оставшихся денег, да еще два рубля и, наконец, уплатил третьему купцу половину оставшихся денег да еще один рубль. После этого денег у крестьянина совсем не осталось денег. Сколько денег было у крестьянина первоначально?
5. Отправляясь за покупками, я имел в кошельке около 15 рублей, отдельными рублями и 20-копеечными монетами. Возвратившись, я принес столько отдельных рублей, сколько у меня было первоначально 20-копеечных монет, и столько 20-копеечных монет, сколько я имел раньше отдельных рублей. Всего же уцелела у меня в кошельке треть той суммы, с которой отправился я за покупками. Сколько стоили
Олимпиада по математике 9 класс
- Цифры от 1 до 9 нужно разместить в фигуре на рис.1 так, чтобы одна цифра была в центре восьмиугольника, другие – у концов каждой диагонали и сумма каждого ряда составляла 15.
2 У любителя головоломок спросили, сколько ему лет? Ответ был замысловатый: «Возьмите трижды мои годы через три года, да отнимите трижды мои годы три года назад, – у вас как раз и получается мои годы». Сколько же ему теперь лет?
3. Разрезать прямоугольник по прямой линии на две части, из которых можно сложить треугольник.
4. Крестьянин, покупая товары, сначала уплатил первому купцу половину своих денег и еще один рубль; потом уплатил второму купцу половину оставшихся денег, да еще два рубля и, наконец, уплатил третьему купцу половину оставшихся денег да еще один рубль. После этого денег у крестьянина совсем не осталось денег. Сколько денег было у крестьянина первоначально?
5. Отправляясь за покупками, я имел в кошельке около 15 рублей, отдельными рублями и 20-копеечными монетами. Возвратившись, я принес столько отдельных рублей, сколько у меня было первоначально 20-копеечных монет, и столько 20-копеечных монет, сколько я имел раньше отдельных рублей. Всего же уцелела у меня в кошельке треть той суммы, с которой отправился я за покупками. Сколько стоили
1
2. Сколько лет?
3(х 3)-3(х-3)=х, х=18
3.
4. Третий купец получил, два рубля, значит, эта сумма была у крестьянина, когда он уходил от второго купца. Сумма, заплаченная второму купцу, без двух рублей составляет, поэтому 4рубля, и крестьянин, уходя от первого купца, имел 8 рублей. Деньги заплаченные первому купцу без одного рубля, составляют 9 рублей, значит, первоначально крестьянин имел вдвое больше, то есть 18 рублей.
5. х – число отдельных рублей, у – число 20 копеечных монет
(100х 20у) – коп. денег первоначально
(100у 20х) – коп. денег после покупки
3(100у 20х)=100х 20у
х=7у,
у=1, то х=7, то 7руб.20коп
у=2, то х=14, то 14руб.40 коп.
у=3, то х=21, то 21руб.60коп.
Ответ: 14руб 40 коп, (так как имел около 15 рублей)
Олимпиада по математике 10 класс
- Используя каждую из цифр 1,2,3,4,5,6,7,8,9 ровно по одному разу, а также знаки арифметических действий и скобки, получите число 2022. (Из цифр можно составлять числа.)
- а в с=5, ав вс ас=5. Чему равна сумма а2 в2 с2 ?
- Постройте график функции у =
- В королевстве 1001 город. Король приказал проложить между городами дороги, чтобы из каждого города выходили ровно 7 дорог. Смогут ли подданные справиться с приказом короля?
- Из вершины В треугольника АВС проведены медиана и высота, которые разделили угол АВС на три равные части. Определите углы треугольника АВС.
Олимпиада по математике 10 класс
- Используя каждую из цифр 1,2,3,4,5,6,7,8,9 ровно по одному разу, а также знаки арифметических действий и скобки, получите число 2022. (Из цифр можно составлять числа.)
- а в с=5, ав вс ас=5. Чему равна сумма а2 в2 с2 ?
- Постройте график функции у =
- В королевстве 1001 город. Король приказал проложить между городами дороги, чтобы из каждого города выходили ровно 7 дорог. Смогут ли подданные справиться с приказом короля?
- Из вершины В треугольника АВС проведены медиана и высота, которые разделили угол АВС на три равные части. Определите углы треугольника АВС.
Олимпиада по математике 10 класс
- Используя каждую из цифр 1,2,3,4,5,6,7,8,9 ровно по одному разу, а также знаки арифметических действий и скобки, получите число 2022. (Из цифр можно составлять числа.)
- а в с=5, ав вс ас=5. Чему равна сумма а2 в2 с2 ?
- Постройте график функции у =
- В королевстве 1001 город. Король приказал проложить между городами дороги, чтобы из каждого города выходили ровно 7 дорог. Смогут ли подданные справиться с приказом короля?
- Из вершины В треугольника АВС проведены медиана и высота, которые разделили угол АВС на три равные части. Определите углы треугольника АВС.
Ответы 10 класс
1.Например, 1985 23 4*(7-6)=2022
2. Ответ 15
3.Постройте график у =
На прямой y = 3 – x выколоть точки с абсциссами x=2 и x= -2
4.
. 
5.
Олимпиада по математике 11 класс
1. Два автомобилиста проехали по 240км. Первый автомобилист половину всего пути делал остановки через каждые 4км, а другую половину – через каждые 5км. Второй автомобилист четверть всего пути делал остановки через каждые 3км, а оставшуюся часть – через каждые 6км. Какой автомобилист сделал больше остановок и на сколько?
2. Составьте уравнение параболы у = ах2 вх с, если она проходит через точку А(1; 3), а точка
В(0,5; 16) является её вершиной.
3. Доказать, что для любых чисел х и у справедливо неравенство: 
х2 – 2х 4у2 – 16у 17 ≥ 0.
4. Через произвольную точку основания равнобедренного треугольника проведены прямые, параллельные боковым сторонам треугольника. Докажите, что периметр образовавшегося четырехугольника равен сумме боковых сторон данного треугольника.
5. Доказать, что если натуральное число не делится на 3, то остаток от деления квадрата этого числа на 3 равен 1.
Олимпиада по математике 11 класс
1. Два автомобилиста проехали по 240км. Первый автомобилист половину всего пути делал остановки через каждые 4км, а другую половину – через каждые 5км. Второй автомобилист четверть всего пути делал остановки через каждые 3км, а оставшуюся часть – через каждые 6км. Какой автомобилист сделал больше остановок и на сколько?
2. Составьте уравнение параболы у = ах2 вх с, если она проходит через точку А(1; 3), а точка
В(0,5; 16) является её вершиной.
3. Доказать, что для любых чисел х и у справедливо неравенство: х2 – 2х 4у2 – 16у 17 ≥ 0.
4. Через произвольную точку основания равнобедренного треугольника проведены прямые, параллельные боковым сторонам треугольника. Докажите, что периметр образовавшегося четырехугольника равен сумме боковых сторон данного треугольника.
5. Доказать, что если натуральное число не делится на 3, то остаток от деления квадрата этого числа на 3 равен 1.
Олимпиада по математике 11 класс
1. Два автомобилиста проехали по 240км. Первый автомобилист половину всего пути делал остановки через каждые 4км, а другую половину – через каждые 5км. Второй автомобилист четверть всего пути делал остановки через каждые 3км, а оставшуюся часть – через каждые 6км. Какой автомобилист сделал больше остановок и на сколько? (4 б)
2. Составьте уравнение параболы у = ах2 вх с, если она проходит через точку А(1; 3), а точка
В(0,5; 16) является её вершиной. (5 б)
3. Доказать, что для любых чисел х и у справедливо неравенство: х2 – 2х 4у2 – 16у 17 ≥ 0. (4 б)
4. Через произвольную точку основания равнобедренного треугольника проведены прямые, параллельные боковым сторонам треугольника. Докажите, что периметр образовавшегося четырехугольника равен сумме боковых сторон данного треугольника. (6 б)
5. Доказать, что если натуральное число не делится на 3, то остаток от деления квадрата этого числа на 3 равен 1. (7 б) Всего 26 б
Ответы 11 класс
1).Первый автомобилист на первых 120км через каждые 4км сделал 30 остановок, на следующих 120км через каждые 5км он сделал 23 остановки, всего 53 остановки.
Второй автомобилист на первых 60км через каждые 3км сделал 20 остановок, на следующих 180км через каждые 6км он сделает 29 остановок, всего 49 остановок.
Значит, больше сделал остановок первый, на 4.
2).Так как точка А(1; 3) лежит на параболе, то а в с = 3.
Так как абсцисса вершины равна 0,5, то 
.
Так как ордината вершины равна 16, то 
Составляем и решаем систему трёх уравнений, получим 
Откуда: а = – 52, в = 52, с = 3.
Ответ: у = – 52х2 52х = 3.
3). (х2 – 2х 1) (4у2 – 16у 16) = (х – 1)2 (2у – 4)2 ≥ 0 при любых значениях х,у.
4).Пусть ∆АВС – равнобедренный, с основанием АВ. Р∈АВ. Проведем РК||ВС и РМ||АС, образовавшийся 4-угольник СКРМ – параллелограмм (по определению), тогда СМ = КР, РМ = СК. Периметр СКРМ равен 2(СМ СК). Сумма боковых сторон ∆АВС равна АС ВС = = АК СК СМ ВМ, но АК = КР, РМ = ВМ как боковые стороны равнобедренных треугольников АКР и ВМР. Итак, АК = КР = СМ, СК = РМ = ВМ. Тогда АС ВС = 2(СМ СК).
5).Пусть х – данное натуральное число. Так как х не делится на 3, то х = 3к 1 или х = 3к 2, где к∈N. Тогда х2 = (9к2 6к) 1 или х2 = (9к2 12к 3) 1. В обоих случаях число х2 при делении на 3 даёт остаток 1.
Олимпиады по математике 9 класс
Задача 1 :
Все трехзначные числа записаны в ряд: 100 101 102 ….. 998 999.
Сколько раз в этом ряду после двойки идет нуль?
Задача 2 :
По определению, n ! = 1 х 2 х 3 ? х…………х n .
Какой сомножитель нужно вычеркнуть из произведения 1! х 2! х 3! х …………х 20! ,
чтобы оставшееся произведение стало квадратом некоторого натурального числа?
Задача 3 :
С помощью циркуля и линейки разделите пополам угол, вершина которого недоступна.
Задача 4 :
Сколько существует треугольников со сторонами 5 см и 6 см, один из углов которого равен 20.
Задача 5 :
На столе лежат 2005 монет.
Двое играют в следующую игру: ходят по очереди; за ход первый может взять со стола любое нечетное число монет от 1 до 99, второй любое четное число монет от 2 до 100.
Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход.
Кто выиграет при правильной игре?
Решение задач :
Задача 1 :
Так как трехзначное число не может начинаться с нуля,
то двойка, после которой идет нуль, не может стоять в разряде единиц одного из трехзначных чисел ряда.
Пусть двойка стоит в разряде десятков трехзначного числа.
Тогда идущий за ней нуль стоит в разряде единиц того же числа,
т.е. это число оканчивается на 20.
Таких чисел 9: 120, 220, ………., 920.
Наконец, если двойка, после которой идет нуль, стоит в разряде сотен,
то соответствующее трехзначное число начинается на 20.
Таких чисел 10: 200, 201, ………., 209.
Таким образом, всего после двойки нуль будет встречаться 19 раз.
Задача 2 :
Заметим, что
1! х 2! х 3! х 4! х…….х 20! = (1! х 2!) х (3! х 4!) х……….х (19! х 20!) =
= (1! х 1! х 2) х (3! х 3! х 4) х (5! х 5! х 6) х………..х (17! х 17! х 18) х (19! х 19! х 20) =
= (1!)2 х (3!)2 х (5!)2 х…………х (19!)2 х (2 х 4 х 6 х 8 х………..х 18 х 20) =
= (1!)2 х (3!)2 х (5!)2 х………….х (19!)2 ?х (2 х (2 х 2) х (3 х 2) х…………..х (10 х 2)) =
= (1! х 3! х…………х 19!)2 х 210 х (1 х 2 х 3 х……………х 2 х 10) = (1! х 3! х…………..х 19!)2 (25)2 х 10!
Мы видим, что первые два множителя квадраты, поэтому, если вычеркнуть 10!, то останется квадрат.
Легко видеть, что вычеркивание других множителей, указанных в ответах, не дает желаемого результата.
Ответ: 10!
Задача 3 :
Задача имеет множество решений.
Рассмотрим один из них.
Выберем на сторонах угла произвольно по 2 точки: A, N, B, M и рассмотрим 
треугольники АВС и NМС.
Проведем в каждом из этих треугольников биссектрисы углов.
Точка пересечения биссектрис углов треугольника АВС принадлежит и биссектрисе угла С.
Аналогично, точка пересечения 2 биссектрис углов треугольника NМС также лежит на биссектрисе угла С.
Проводим через эти 2 точки прямую, которая будет и биссектрисой х С.
Задача 4 :
Есть только один треугольник, в котором угол 20 град. лежит между сторонами 5 см и 6 см.
Попробуем построить треугольник,
в котором сторона 6 см прилегает к углу 20 град. , а сторона 5 см лежит против него.
Для этого от вершины угла отложим отрезок длиной 6 см, и проведем окружность радиуса 5 см с центром этого отрезка, не совпадающем с вершиной.
Расстояние от центра этой окружность до второй стороны угла меньше 5 см
(это расстояние равно катету угла в 20 град.).
Отсюда следует, что окружность пересечет прямую, содержащую вторую сторону угла, в двух точках,
причем из-за того что радиус меньше 6 см, обе эти точки будут лежать на стороне угла,
и мы получим два разных треугольника.
Если же попробовать поменять ролями отрезки в 5 см и 6 см,
то вершина угла окажется внутри построенной окружности,
и мы получим только одну точку пересечения,
а следовательно, и один треугольник.
Итак, мы получили всего 4 треугольника.
Задача 5 :
Опишем стратегию первого игрока.
Первым ходом он должен взять со стола 85 монет.
Каждым следующим, если второй игрок берет х монет, то первый игрок должен взять 101 х монет
(он всегда может это сделать, потому что если х четное число от 2 до 100, то (101 х ) нечетное число от 1 до 99).
Так как 2005 = 101 х 19 85 1, то через 19 таких ответов после хода первого на столе останется 1 монета,
и второй не сможет сделать ход, т. е. проиграет.
