I тур
Задача 1.
В летний лагерь приехали 3 друга: Миша, Володя и Коля. Известно, что каждый из них имеет одну из фамилий: Иванов, Семёнов и Петров. Миша не Петров; отец Володи – инженер, Володя учится в 6-м классе. Мальчик с фамилией Петров учится в 5-м классе. Отец с фамилией Иванов – слесарь. Какая фамилия у каждого из ребят?
Задача 2.
4 карандаша и 3 общих тетради стоят 54 рубля, а 2 карандаша и 2 общих тетради стоят 34 рубля. Сколько стоят 8 карандашей и 7 общих тетрадей?
Задача 3.
На каждой перемене Пончик съедает 2 пончика, а Фантик выпивает стакан «Фанты». Сколько пончиков и стаканов «Фанты» они съедают и выпивают на переменах с понедельника по субботу включительно, если за это время у них было по расписанию 35 уроков?
Задача 4.
Разрезать фигуру, составленную из 5 квадратов, на части, из которых можно сложить ровно один квадрат.
Задача 5.
Сможет ли Катя посадить 8 цветков в 7 рядов по 3 цветка в каждом ряду?
Задача 6.
Вини-Пух, Сова, Кролик и Пятачок вместе съели 70 бананов, причём каждый из них съел хотя бы один банан. Вини-Пух съел больше всех; Сова и Кролик вместе съели 45 бананов. Сколько бананов съел Пятачок?
Ii тур
Задача 1.
В магазине было 8 пил, а топоров – в 3 раза больше. Одной бригаде продали половину топоров и 3 пилы за 84 р. Оставшиеся топоры и пилы продали за 100 рублей другой бригаде. Сколько стоит 1 топор и 1 пила?
Задача 2.
4 ученика, Андрей, Борис, Владимир и Геннадий, заняли первые 4 места на районной математической олимпиаде, причём никакие двое не делили между собой какие-либо 2 места. На вопрос, какое место занял каждый из них, участники дали по 2 разных ответа, причём в каждом из ответов одна часть истинная, другая – ложная. Какое место занял каждый?
а) Боря – II, Андрей -I;
б) Андрей – II, Геннадий – III;
в) Владимир – II, Геннадий – I.
Задача 3.
Геологи нашли 7 камней, массы которых равны 1 кг, 2 кг, 3 кг, 4 кг, 5 кг, 6 кг, 7 кг. Эти камни разложили в 4 рюкзака так, что в каждом рюкзаке масса была одинаковой. Как они это сделали?
Задача 4.
В одном озере растёт волшебная лилия. Её размеры увеличиваются каждый день ровно в 2 раза. Если посадить одну такую лилию в пруд, то через 20 дней она заполнит его полностью. За сколько дней весь пруд закроется, если сразу посадить четыре таких лилии?
Задача 5.
Два всадника едут навстречу друг другу: один со скоростью 12 км/ч, а другой – на 3 км больше. На каком расстоянии они будут через 2 часа после встречи?
Задача 6.
Имеется 20 конфет в различных обёртках: 3 штуки – в красных, 3 штуки – в фиолетовых, 5 штук – в синих, 9 штук – в коричневых. Какое наименьшее количество конфет надо взять наудачу, чтобы среди них обязательно были 4 разных конфеты?
Iii тур
Задача 1.
В зоопарке живут 30 обезьян. 10 из них берут от посетителей конфеты, 15 – печенье, а 9 предпочитают не брать ничего. Сколько обезьян берут у посетителей и конфеты, и печенье?
Задача 2.
В записи 1 2 3 4 5 6 7 8 9 поставить знаки « » и « – » так, чтобы значение выражения равнялось 100.
Задача 3.
Расставьте в свободных клетках числа 4, 5, 6, 7, 8, 9 так, чтобы сумма чисел в каждом столбце и в каждой строке равнялась 15.
Задача 4.
Какие цифры надо вставить вместо звёздочек?
Задача 5.
Мышь, мышонок и сыр в мышеловке весят вместе 180 г. Мышь весит на 100 г больше, чем сыр и мышонок вместе. Сыр весит в 3 раза меньше, чем мышонок. Сколько весит каждый из них?
Задача 6.
Написать 55, употребляя 5 четвёрок.
Iv тур
Задание 1.
Написать 20 при помощи 4-х девяток.
Задача 2.
В клетке находятся фазаны и кролики. У всех животных 35 голов и 94 ноги. Сколько в клетке фазанов и сколько кроликов?
Задача 3.
Червяк ползёт по стволу липы. Ночью он поднимается на 4 м вверх, а днём спускается на 2 м вниз. На восьмую ночь червяк достиг вершины дерева. Как высока липа?
Задание 4.
В записи 8-значного числа используются по 2 раза цифры 1, 2, 3, 4, причём первая цифра – 4. Интересно, что между двумя единицами стоит одна цифра, между двумя двойками – две цифры, между двумя тройками – три цифры, между двумя четвёрками – четыре цифры. Что это за число?
Задача 5.
В коробке лежат десять пар чёрных и столько же пар коричневых перчаток. Сколько перчаток нужно вынуть из коробки не глядя, чтобы быть уверенным, что из них можно будет подобрать хотя бы одну одноцветную пару?
Задача 6.
Кузнецу принесли пять обрывков одной цепи, состоящей из 3, 4, 5, 6 и 7 звеньев, и предложили соединить все обрывки в одну общую цепь. Какое наименьшее число звеньев нужно расковать и снова сковать для выполнения такого заказа?
Олимпиадные задания, ответы и решения по предмету математика для учащихся 5-9 классов (школьный этап)
Муниципальное
бюджетное общеобразовательное учреждение
«Лянторская средняя общеобразовательная
школа №4»
Олимпиадные
задания, ответы и решения
по
предмету математика
для
учащихся 5-9 классов
(школьный
этап)
Пивоварова
Татьяна Геннадьевна,
учитель
математики
Задания
5
класс
1. Вы
видите три числа, подписанных одно под
другим:
111
777
999
Надо
зачеркнуть шесть цифр так, чтобы
оставшиеся числа составили в сумме 20.
2.
Расшифруйте запись: О Х О Х О
А Х А Х А
А Х А Х А Х
3. Имеются
два сосуда вместимостью 17 литров и 5
литров. Как с помощью этих сосудов налить
из водопроводного крана 13 литров воды?
4. Хвост
рыбы весит 4 кг, Голова весит столько,
сколько хвост и половина туловища, а
туловище – столько, сколько голова и
хвост. Сколько весит вся рыба?
Ответы
и решения.
5
класс
1. Ответ:
011
000
009
020
2. Ответ:
90909 10101 = 101010.
2.Решение.
Решение задачи задаётся числовым
выражением:
5 – (17 – 5 – 5 – 5) 5 5.
4. Ответ:
32 кг.
Решение.
Хвост (Х). Голова (Г). Туловище (Т).
Х=4кг;
Г =4кг 0,5Т; Т = Г 4кг. Г = 4кг 0,5(Г 4кг);
2Г =
8кг Г 4кг; Г = 12кг; Т = 16кг.
Масса
рыбы: 4 12 16 = 32(кг).
Ответ:
32 кг.
6
класс
Задания
1.
Расшифруйте запись: В А Г О Н
В А Г О Н
С О С Т А В
2.
Когда внук спросил у дедушки, сколько
ему лет, дед ответил: «Если я проживу
ещё половину того, что я прожил, да ещё
1 год, то мне будет целый век». Сколько
лет дедушке?
3.
На каждой из двух прямых отметили по
четыре точки. Укажите наибольшее
количество треугольников с вершинами
в этих точках? Ответ обосновать.
4.
В лесу проводился кросс. Обсуждая его
итоги, одна белка сказала: «Первое место
занял заяц, а второй была лиса». Другая
белка возразила: «Заяц занял второе
место, а лось был первым». На что филин
заметил, что в высказывании каждой
белки одна часть верная, а другая – нет.
Кто был первым, а кто вторым в кроссе?
Ответы
и решения.
6
класс
1. Ответ:
85679 85679 = 171358.
2. Ответ:
66 лет.
Решение.
Пусть дедушке х лет. Составим уравнение:
х 0,5х 1 = 100; х = 66.
3. Ответ:
48 треугольников.
Решение.
Пусть на одной отмечены точки А, В, С и
D. Количество отрезков
можно подсчитать, используя дерево
возможностей:
АВС D
/ | / | /
| / |
B C D A C DAB D A BC
Отрезки
АВ и ВА совпадают и т.д. Т.о., на одной
прямой 6 отрезков, на другой 4 точки,
всего 24 треугольника. Аналогично ещё
24 треугольника.
4.
Ответ: Лиса заняла второе место, а лось
– первое.
Решение
Запишем коротко высказывания двух
белок:
1-я
белка: «Заяц – I», «Лиса – II».
2-я
белка: «Заяц – II», «Лось – I».
Если
предположить, что высказывание «Заяц
– I» верно, то оба высказывания 2-й белки
будут неверными, а это противоречит
условию задачи. Значит, высказывание
«Заяц – I» не может быть верным, тогда
Лиса заняла второе место, а Лось – первое.
7
класс
Задания
1.
Трёхзначное число на 125% больше двузначного
числа, составленного из его двух последних
цифр. Найдите это трёхзначное число.
2.
Школа Пифагора. Тиран острова Самос
Поликрат однажды спросил у Пифагора,
сколько у того учеников. “Охотно скажу
тебе, о Поликрат, – отвечал Пифагор. –
Половина моих учеников изучает прекрасную
математику, четверть исследует тайны
вечной природы, седьмая часть молча
упражняет силу духа, храня в сердце
учение. Добавь ещё к ним трех юношей, из
которых Теон превосходит прочих своими
способностями. Столько учеников веду
я к рождению вечной истины”.
Сколько учеников ведёт к рождению
вечной истины Пифагор?
3.
К числу 10 припишите слева и справа по
одной цифре так, чтобы полученное число
делилось на 72.
4.Разрежьте
квадрат на 5 прямоугольников так, чтобы
два прямоугольника не имели бы более
одной общей вершины
5.
В трёх ящиках лежат орехи. В первом ящике
на 6 кг орехов меньше, чем в двух других
вместе. А во втором – на 10 кг меньше, чем
в двух других вместе.
Сколько
орехов в третьем ящике?
Ответы
и решения.
7
класс
1.
Ответ: 180.
Решение.
100% 125%=225%, 225% =9/4 двузначного числа. Т.е.
двузначное число должно делиться на 4,
а при умножении на 9 частного от деления
должно получаться трёхзначное число.
2.
Ответ: 28.
Решение.
Пусть у Пифагора было х учеников. Составим
и решим уравнение:
х/2
х/4 х/7 3 = х
14х 7х 4х 84=28х
3х=84
х=28.
3.Ответ: 4104.
Решение.
72 – произведение чисел 8 и 9.Используя
признак делимости на 8, справа приписываем
цифру 4, по признаку делимости на 9 слева
приписываем цифру 4.
4. Ответ:
5.Ответ: 8 кг орехов
Решение.
Соединим оба заданных условия и получим
следующее утверждение: «В первом и
втором ящиках орехов на 6 кг 10 кг меньше,
чем в первом, втором и двух третьих».
Отсюда следует, что в двух третьих ящиках
16 кг орехов, то есть в третьем 8 кг орехов.
8
класс
Задания
1.У первоклассника
Феди в кассе цифр есть только единицы,
шестёрки, четвёрки и девятки. Он составил
из них 2 числа. Может ли одно них быть
ровно в 17 раз больше другого? (ответ
обосновать)
2.
Постройте график функции
3.
Сократите дробь
а4 –
b4
64 –16 а2
(а b)2 –
8 – 2аb
и
найдите её значение при а = 37 и в = 27, не
прибегая к письменным вычислениям.
4.
Найдите углы прямоугольного треугольника,
если угол между биссектрисой и высотой,
проведёнными из вершины прямого угла,
равен 15О.
5.
Пришел Иван-царевич в подземелье к Кащею
Бессмертному Василису Прекрасную
освобождать. В подземелье 3 темницы. В
одной из них томится Василиса, в другой
расположился Змей Горыныч, а третья
темница пустая. На дверях есть надписи.
но все они ложные. На первой темнице
написано «Здесь Василиса Прекрасная»;
на второй темнице «Темница № 3 не пустая»,
на третьей темнице написано «Здесь Змей
Горыныч». В кой же темнице Василиса?
8
класс
Ответы
и решения
1. Ответ:
не может.
Решение.
У Феди есть только 1, 4, 6, 9. Если число а
заканчивается на 1, 4, 6, 9, то произведение
числа а на 17 заканчивается на
7, 8, 2, 3. А таких цифр в кассе нет.
2.
Ответ: прямая у = 0,25 х , с выколотой точкой
(3; 0,75).
Решение.
После преобразования получаем функцию
у = 0,25 х,
при
х Є (-∞; 3 ) U (3; ∞ ).
3. Ответ:а2 –
8 – b2; 632.
Решение
Числитель: а4 –
b4 64 –16 а2 =
( а4– 16 а2
64 ) – b4 =
(а2 – 8)2 –(
b2)2
= (а2 – 8 –
b2) (а2
– 8 b2).
Знаменатель: (а b)2
– 8 – 2аb = а2 2аb
b2 – 8 – 2аb = а2
b2 – 8.
а2
– 8 – b2 = (а – b) (a
b) – 8 = (37–27) (37 27) – 8 =
632.
4. Ответ:
30О, 60О, 90О.
Решение.
Угол
РСА равен 45О, т.к. СР биссектриса
прямого угла.Угол
КСА равен 30О (45О – 15О
= 30О).Угол
КАС равен 60О (из прямоугольного
треугольника прямоугольного АСК).Угол
СВА равен 30О (из прямоугольного
треугольника прямоугольного АВС).
5.
Ответ: во второй темнице.
Решение.
Василиса не может быть в первой темнице,
значит, она во второй или третьей темнице.
Так как третья темница пустая, Василиса
будет во второй темнице.
9
класс
1.
К числу 10 припишите слева и справа по
одной цифре так, чтобы полученное число
делилось на 72.
2.
Известно, что 1/х1 1/х2 = 0,5,
где х1 и х2 – корни уравнения
х2 х b= 0. Найдите b.
3.
В прямоугольный треугольник с катетами
2см и 6см вписан квадрат, имеющий с
треугольником общий прямой угол. Найдите
периметр квадрата.
4. Автомобиль
едет сначала 2 мин с горы, а затем 6 мин
в гору. Обратный путь он проделывает за
13 мин. Во сколько раз скорость автомобиля
при движении с горы больше, чем скорость
при движении· в гору? (Считайте, что
скорость при движении с горы (в гору)
одинакова в обоих направлениях.)
5. В трех
урнах лежат шары: в одной – два белых,
в другой – два черных, в третьей – белый
и черный. На урнах висят таблички: ББ,
ЧЧ и БЧ так, что содержимое каждой из
урн не соответствует табличке. Как,
вытащив один шар, определить, в какой
урне какие шары лежат?
9
класс
Ответы
и решения
Ответ:
4104.
Решение.
72 – произведение чисел 8 и 9.Используя
признак делимости на 8, справа приписываем
цифру 4, по признаку делимости на 9 слева
приписываем цифру 4.
Ответ:
-2.
Решение.
По теореме Виета х1 х2 = –
1 и х1* х 2 = b.
После преобразования выражения 1/х1
1/х2 = 0,5, имеем 2(х1 х2
) = х1* х 2.
Решаем
уравнение: 2 * (-1) = b,
b = – 2.
3.
Ответ: 6 см.
Решение.
Обозначим
сторону квадрата за х. Треугольники
ADE и EFB
подобны по двум углам, отсюда имеем: (2
– х): х = х: (6 – х). Решив уравнение, получим
х = 1,5(см). Р = 6* 1,5 =6 (см).
4. Ответ:
6.
Решение.Пусть скорость
автомобиля при движении с горы равна х
км/мин, а при
движении в гору – у
км/мин. Тогда на
пути туда автомобиль едет с горы с горы
2х км,
а в гору – 6у км.
На обратном
пути расстояние 6у км (т.е. путь с горы)
автомобиль преодолевает за . 6у /х мин,
а расстояние 2х км (т.е. путь в гору) – за
2х/у мин. Всего обратный путь занимает
13 мин. Получаем уравнение:
6у
/х 2х/у = 13.
Из этого уравнения нужно найти
отношение х/у. Введя замену х/у = t, получим
уравнение с одной переменной: 2t 6/t = 13.
Решив его, найдем, t1= 6, t2 =
0,5. Так как скорость автомобиля при
движении с горы больше, чем при движении
в гору, то подходит только корень t1=
6 Таким образом, х/у = 6.
5.
Решение. Вытащим шар из урны с надписью
БЧ.
Если вытащенный
шар окажется белым, то в этой урне лежат
два белых шара, в урне с надписью ББ не
может быть белого и черного шаров,
поскольку при этом в урне с надписью ЧЧ
содержимое совпадает с надписью. Делаем
вывод о том, что в урне с надписью ББ
лежат два черных шара, а в урне с надписью
ЧЧ лежат два шара разных.
Если вытащенный
шар окажется черным, то в урне с надписью
БЧ лежат два черных шара, в урне с надписью
ЧЧ лежат два белых шара, а в урне с
надписью ББ лежат два шара разных цветов.
Ответы
Задача 1.
Миша Иванов, Володя Семёнов, Коля Петров.
Задача 2.
4 к. 3 т. = 54 (руб.); 2 · (2 к. 2 т.) = 2 · 34 (руб.). Сложив два равенства, получим: 8 к. 7 т. = 54 68 = 128 (рублей).
Задача 3.
Если бы все 35 уроков шли подряд, перемен было бы 34. Но из них надо исключить промежутки между последним уроком одного дня и первым уроком другого дня. Таких промежутков 5, и перемен у Пончика и Фантика – 29. Поэтому Пончик съедает 58 пончиков, а Фантик выпивает 29 стаканов «Фанты».
Задача 4.
Задача 5.
Да, сможет. Например, так:
Задача 6.
Вини-Пух и Пятачок вместе съели 25 бананов. Так как Пятачок съел по крайней мере 1 банан, то Вини-Пух съел не более 24 бананов. Тогда в паре Сова – Кролик кто-то съел 23 банана, а кто-то – 22 банана (меньше не может быть, так как тогда второй в паре съест по крайней мере 24 банана, то есть не меньше, чем Вини-Пух).
Следовательно, Вини-Пух съел 24 банана, а Пятачку достался всего один банан.
Рекомендуем посмотреть:
Принцип Дирихле. Задачи с решениями 6-7 класс с ответами и решением
Задачи на «Раскраски» олимпиадные с решением
Олимпиадные задачи на тему «Чётность» с ответами, 5 класс
Задачи на «Инвариант» с ответами, 6 класс. Алгебра
Интеллектуальный марафон по математике с ответами, 5-9 класс
Школьная олимпиада по математике в 5 классе
В корзине лежат яблоки, груши и персики – всего 37 плодов.
Яблок в корзине в два раза больше, чем персиков, и на 3 штуки больше, чем груш.
Сколько в корзине яблок, груш, персиков?
Задача 2.
Запишите все делители числа 24.
Запишите все числа, меньшие двухсот, которые кратны этому числу.
Задача 3.
Из двух городов, расстояние между которыми 100 км,
одновременно выехали навстречу друг другу два велосипедиста,
скорости которых 12 км/ч и 14 км/ч.
Каким будет расстояние между велосипедистами через 3 часа после начала их движения?
Задача 4.
Начертите угол, который на 15о меньше прямого угла.
Начертите угол, который на 65о меньше развёрнутого угла.
На сколько градусов первый угол меньше второго?
Задача 5.
На стол положили ложки, вилки и ножи – всего 37 приборов.
При этом вилок положили в два раза больше, чем ножей и на 2 меньше, чем ложек.
Сколько положили на стол ложек, вилок, ножей?
Ответы к задачам:
Задача 1.
Яблок – 16, груш – 13, персиков – 8.
Задача 2.
Делители: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Кратные: 24, 48, 72, 96, 120, 144, 168, 192.
Задача 3.
Искомое расстояние равно: 100 – (12 14) • 3 = 22 (км).
Задача 4.
Нужно начертить углы величиной в 75 и 115 градусов. На 40 градусов.
Задача 5.
Вилок – 14, ножей – 7, ложек – 16.
Школьная олимпиада 5 класс с решением
