Учебник для подготовки к олимпиаде по математике 10 класс

Необходимым условием успеха на олимпиадах по математике является умение решать задачи по алгебре, геометрии, комбинаторике, теории чисел.

Тренироваться в их решении следует регулярно, и в нашей подборке вы сможете найти для этого достаточное количество пособий.

Никитин Александр Александрович, академик РАО, д.ф.-м.н., профессор Михеев Юрий Викторович, доцентМарковичев Александр Сергеевич, к.ф.-м.н., профессорАлешин Владислав Дмитриевич, ст. преподавательПащенко Михаил Георгиевич, к.ф.-м.н.

Учебно-методический комплекс «Математика (физико-математический профиль) — 10 класс»Учебно-методический комплекс рассчитан на учащихся 10 классов для углубленного изучения математики. Новизна УМК в том, что это единый курс по математике без традиционного разделения на геометрию и алгебру с элементами математического анализа. Такой подход, с одной стороны, отражает единство математики как науки, а с другой — позволяет учителю гораздо свободнее планировать учебный материал, исходя из реально сложившейся ситуации. Создание содержания расширенного трехуровневого курса математики для старших классов позволяет заинтересованным учителям самостоятельно формировать собственные авторские многоуровневые курсы с учетом психологических особенностей учащихся.Объем УМК – 216 часов, из них 72 часа на самостоятельное знакомство с теоретическим материалом и 144 часа на семинарские занятия.План учебно-методического комплекса:

• Аксиоматический метод в математике. Система аксиом Гильберта и Аксиоматика Пеано.
• Начала стереометрии. Аксиоматика стереометрии.
• Действительные числа. Приближения действительных чисел. Свойства полноты.
• Параллельность прямых и плоскостей.
• Предел последовательности. Понятие числового ряда.
• Перпендикулярность в пространстве.
• Показательная и логарифмическая функции.
• Геометрический подход к определению касательной.
• Сечения многогранников.
• Тригонометрические функции числового аргумента.
• Углы в пространстве.
• Обратные тригонометрические функции. Тригонометрические уравнения.
• Элементы теории вероятностей. Закон больших чисел.
• Комплексные числа. Геометрическое представление множества комплексных чисел.

Log in

Register

What you will learn

В нем применены различные подходы для максимального прогресса в обучении: текстовые блоки с теорией, видеоуроки с разборами типовых задах по теме, задачи для самостоятельного выполнения и текстовый разбор этих заданий.

Обратите внимание! Помимо этого курса существует много полезных уроков на моем ютуб канале.

Для кого этот курс?

• Для новичков в олимпиадной математике, так как все темы опираются на школьный уровень. Вся нужная олимпиадная теория дается на курсе
• Для опытных ребят, так как вы сможете структурировать свои знания и нарешать большое количество интересных и нестандартных задач

В каком классе можно участвовать?

Курс рассчитан на учеников 10-11 классов, но участвовать могут спокойно и ученики 8-9 классов. Просто некоторые темы можно будет пропустить.

Что вы узнаете на курсе?

Это курс — неделя моего полного курса подготовки к олимпиадам. Я решил сделать часть в открытом доступе, чтобы каждый смог попробовать мою программу обучения, увидеть прогресс такого подхода, решиться на изучение олимпиадной математики.

Здесь полностью изложена важная часть олимпиадного курса — алгебраические уравнения и многочлены. Задачи на эти темы есть в абсолютно каждой олимпиаде, поэтому их очень важно изучить.

Также сделан специальный блок — обзор всех основных олимпиад по математике, собраны в общие таблицы заданий прошлых лет, источники для подготовки к этим олимпиадам и рассказана специфика каждой из них.

Как не сдаваться?

Я понимаю, что олимпиадная подготовка — это сложный процесс. Поэтому вы можете вступить в телеграм канал, где будут публиковаться анонсы отборочных этапов и онлайн занятий, а также общий чат, где можно обмениваться опытом, общаться с другими олимпиадниками.

Обратная связь

По мере прохождения курса вы всегда можете задать мне вопрос в комментариях или мне лично в телеграм

А что после курса делать?

Этот курс — это недельная версия моего основного курса. Если ты хочешь дальше учиться со мной или узнать подробности, напиши мне в телеграм.

Другие наши курсы

Учащиеся 9-11 классов

Initial requirements

Хорошие знания школьной программы и желание обучиться новому!)

Meet the Instructors

Муниципальный этап Всероссийской олимпиады школьников

1. Решите задачу (7 баллов)

Найдите все натуральные числа, которые увеличиваются в 9 раз, если между цифрой

единиц и десятков вставить ноль.

2. Решите задачу (7 баллов)

3. Решите задачу (7 баллов)

Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 составлены все пятизначные числа, не содержащие

повторяющихся цифр. Найдите сумму всех этих чисел.

4. Решите задачу (7 баллов)

От квадрата отрезали прямоугольный треугольник, сумма катетов которого равна

стороне квадрата. Найдите сумму трех углов, под которыми видна из трех оставшихся

вершин квадрата гипотенуза этого треугольника.

5. Решите задачу (7 баллов)

Шесть монет (из них три настоящие, одинакового веса, и три фальшивые, также

одинакового веса; фальшивые – легче) разложили в три кучки одинакового веса. За два

взвешивания на чашечных весах без гирь, найдите все настоящие монеты.

Примерные варианты решений и оценка задач

Муниципального этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике

1. Найдите все натуральные числа, которые увеличиваются в 9 раз, если между

цифрой единиц и десятков вставить ноль.

Решение. Запишем искомое число в виде 10a+b, b его последняя цифра, a

натуральное. По условию, 9·(10a+b) = 100a b, откуда . Значит, =5, и тогда

Оценивание: Полное решение – 7 баллов. Ответ без обоснования 1 балл.

2. a² + b² + a b — 1a, b.

Решение. Рассмотрим квадратный трехчлен P(aa² + ab-3) + b² -3b +3. Его

дискриминант D-3b²+ 6b -3 = -3(b-1)² не положителен. Значит, ) ≥ 0 для всех

Оценивание: За любое полное решение –

3. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 составлены все пятизначные числа, не содержащие

Решение. Посчитаем, сколько раз у этих чисел встретится, например 2 в старшем

разряде: в следующем разряде может стоять любая цифра, кроме 2 и 0 (8 вариантов); в

следующем разряде – любая, кроме 2, 0 и этой цифры (7 вариантов); и т.д. Итого: 8·7·6·5

вариантов. То же верно для всех других цифр, и для всех разрядов. Поэтому сумма равна

4. От квадрата отрезали прямоугольный треугольник, сумма катетов которого равна

Решение. Отрежем от каждого из оставшихся углов квадрата еще три таких же

прямоугольных треугольника. Гипотенузы этих трех треугольников видны из «первой»

вершины квадрата в точности под теми углами, под которыми видна гипотенуза «первого»

треугольника из трех «других» вершин квадрата. Ломаная, образованная этими тремя

гипотенузами, видна из «первой» вершины под прямым углом.

Оценивание: Полное решение – 7 баллов. Возможны различные решения.

5. Шесть монет (из них три настоящие, одинакового веса, и три фальшивые, также

Решение. Обозначим монеты в кучках

а) AB. Сравнивая , найдем всё.

1) B C ; 2) B C ; 3) B настоящая, – фальшивая.

Сравним тогда : для 1) будет ; для 2) будет B c; для 3) будет B c.

в) AB. Аналогично предыдущему пункту.

Оценивание: Полное решение – 7 баллов. Отметим, что первое взвешивание –

только такое (с точностью до переобозначений).

Данный курс — сборник задач прошлых лет олимпиады Физтех.

В чем его удобство?

• все задачи разбиты по темам
• к каждой задаче написано решение

Таким образом, вам больше не надо собирать самим информацию, теперь все есть в одном месте! Причем в максимально комфортном для обучения виде.

ВАЖНО! Кроме этого курса я проведу для всех желающих онлайн занятия, анонс которых будет в телеграм канале, куда вам нужно присоединиться, чтобы не пропустить эти уроки.

Победители и призёры заключительного этапа имеют особые права при зачислении:

✓ быть зачисленным без вступительных испытаний по специальностям направлениям подготовки, соответствующим профилю олимпиады школьников

✓ получить 100 баллов ЕГЭ по предмету, соответствующему профилю олимпиады школьников

Олимпиада школьников «Физтех» проводится для учащихся 9-11 классов более 30 лет. Она призвана повысить интерес школьников к углубленному изучению физики и математики, выявить у них творческие способности, а также способствовать поиску молодых талантов.

Одновременно она служит важным этапом единой программы работы со школьниками, той работы, которая проводится постоянно в течение каждого учебного года. Для выявления одаренных детей в МФТИ была создана целостная система, состоящая из набора очных и заочных физико-математических олимпиад, конкурсов по решению задач вступительных испытаний, проводятся регулярные лекции и семинары, вечерние школы, международный научно-технический конкурс школьников «Старт в науку», работает Заочная физико-техническая школа. Вся эта система работает на единую цель – выявить абитуриентов, наиболее подготовленных к обучению на Физтехе. Все мероприятия работы со школьниками являются предварительными испытаниями, проходящими перед олимпиадой «Физтех».

Традиционно олимпиаде школьников «Физтех» по математике в перечне Российского совета олимпиад школьников присвоен второй уровень, по физике – первый, что дает победителям и призёрам олимпиады особые права при поступлении во многие вузы Российской Федерации. С 2021 года олимпиада проходит и по биологии, ей присвоен второй уровень в перечне РСОШ.

Заключительный (очный) этап состоится во многих городах России и стран ближнего зарубежья: по биологии – 12 февраля, по математике — 26 февраля и по физике — 27 февраля 2022 г.

Для участия в заключительном этапе необходимо обязательно пройти процедуру регистрации на сайте олимпиады olymp.mipt.ru в срок до 23:59 04 февраля 2022 года (по московскому времени) для биологии и до 23:59 18 февраля 2022 года (по московскому времени) для математики и физики. Регистрация откроется в конце января-начале февраля.

В ходе регистрации необходимо указать свои данные, подтвердить результат участия в отборочных турах, выбрать место участия и получить регистрационный номер и анкету. Внимание! Не прошедшие до конца процедуру регистрации к написанию олимпиады допускаться не будут.

• Школьникам
• Поступление на Физтех
• Варианты олимпиады «Физтех» прошлых лет

Варианты олимпиады «Физтех» прошлых лет

Условия, решения и критерии проверки олимпиады «Физтех» за 1986-2019 годы.

Курс находится на модерации. Данные могут быть неактуальны.

С проверкой домашнего задания

Стоимость курса

На занятиях вы сможете углубиться в специфику олимпиады. На интенсиве мы разберём ключевые задачи по всем темам, которые встречались в олимпиаде «Физтех» последние несколько лет. Интенсив дает возможность в короткий срок систематизировать знания по предмету и научиться решать сложные задания, чтобы успешно выступить на олимпиаде.

Кому будет полезен курсОднодневный интенсив подойдет тем, кто готовится к заключительному этапу олимпиады «Физтех» по математике.

Какие знания даёт курсНа занятиях вы сможете углубиться в специфику олимпиады. На интенсиве мы разберём ключевые задачи по всем темам, которые встречались в олимпиаде «Физтех» последние несколько лет.

Какие навыки даёт курсИнтенсив дает возможность в короткий срок систематизировать знания по предмету и научиться решать сложные задания, чтобы успешно выступить на олимпиаде.

Вручную проверяем пробники и домашние работыМы не оставляем задания письменной части на самопроверку — ею занимаются эксперты ОГЭ.Проверяем «по-настоящему», как на экзамене, и в результате вы получаете развёрнутую обратную связь. Всё это — ради скорости подготовки и вашего результата.

Личный куратор ответит на вопросы в течение двух часов, 24/7

Кураторы разбираются в программе и предмете, поэтому легко ответят на ваши вопросы по курсу и домашке — в любое время Они хорошо знают, как непросто бывает с подготовкой, и понимают ваши переживания. Самая важная задача куратора — помочь вам справиться со стрессом и страхом перед экзаменами

Занятие длится 3 академических часа

Что вы получите после обучения

Кандидат физ.-мат.наук. Учитель высшей категории. Член жюри ВОШ по математике. Ведёт канал на Youtube

В 1999 году я начал преподавать математику (в 2005 году стал учителем высшей квалификационной категории) в физико-математической школе №5 города Долгопрудный. В 2004 году начал участвовать в Федеральной методической комиссии по математике Всероссийской олимпиады школьников. В то же время начал преподавать на кафедре высшей математики Московского физико-технического института (с 2012 года — доцент). А в 2008 впервые стал членом жюри Всероссийской олимпиады школьников по математике. После окончания аспирантуры, в 2008 году я защитил кандидатскую диссертацию по специальности 01.01.01 (Вещественный, комплексный и функциональный анализ). В 2009 году я провел свои первые онлайн-занятия в Центре онлайн-обучения «Фоксфорд». В соавторстве с Назаром Агахановым, Людмилой Петерсон и др. написал учебники по алгебре для 8-9 классов.

Веду личный сайт — trushinbv.ru, и свой youtube-канал — youtube.com/trushinbv.

Образовательная организация

Фоксфорд — онлайн-школа для учеников 1−11 классов, учителей и родителей. На онлайн-курсах и индивидуальных занятиях с репетитором школьники готовятся к ЕГЭ, ОГЭ, олимпиадам, изучают школьные предметы. Занятия ведут преподаватели МГУ, МФТИ, ВШЭ и других ведущих вузов страны.

Для учителей проводятся курсы повышения квалификации и профпереподготовки, а для родителей — открытые занятия о воспитании и развитии детей. Проект является резидентом «Сколково».

Почему мы?

Уравнения и неравенства

— Иррациональные уравнения и неравенства- Тригонометрические уравнения- Логарифмические уравнения и неравенства- Симметрические системы уравнений

Планиметрия и параметры

— Планиметрия — Задачи с параметром

Комбинаторика и теория чисел

— Комбинаторика — Теория чисел

Рейтинг курса

Курс по алгебре для 11 класса (базовый уровень)

На этом курсе вы изучите глубже тригонометрию. Познакомитесь с логарифмами и основами математического анализа. Фундаментальная подготовка, полученная на занятиях курса, станет хорошим стартом для тех, кто планирует сдавать профильный ЕГЭ по математике.

обновлено 30.03.2023 09:42

Муниципальное образование Павловский район Краснодарского края

(территориальный, административный округ (город, район, поселок)

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждениесредняя общеобразовательная школа №2 ст. Павловской

(полное наименование образовательного учреждения)

решение педагогического советапротокол №__ от «__»______20__   года

Председатель педагогического совета

подпись руководителя ОУ                    Ф.И.О.

(наименование учебной дисциплины, курса)

(срок реализации программы)

(ФИО преподавателя, составителя)

В последние годы наблюдается динамическое развитие олимпиадного движения как в России, так и во всем мире. Предметные олимпиады школьников доказали свою эффективность в решении задач поиска и отбора интеллектуально одаренных учащихся. Анализ выступления школьников на математических олимпиадах и различных соревнованиях показывает, что наибольшего успеха добиваются учащиеся, с которыми была проведена работа по выявлению и развитию их одаренности. Стремление к достижению олимпиадных успехов является стимулом для учащихся, поддерживает серьезный интерес к учебе и дополнительным занятиям математикой.

Курс занятий по работе с одаренными учащимися «Олимпиадная математика» ориентирован на учащихся 10-11-х классов и направлен на развитие их математических способностей, то есть способностей к логическому осмыслению знания, к умению абстрагироваться от конкретного, к обобщению частного.

• Готовить учащихся к математическим соревнованиям разного уровня.
• Развивать математическую одаренность, математическую грамотность, творческие способности и высокие «спортивные» качества учащихся.
• Организовать психологическую помощь учащимся в определении степени готовности их к выполнению нестандартных заданий, к построению нетипичных логических конструкций, к отказу от стереотипных подходов в решении задач.
• Развивать умение собраться и сконцентрироваться, умение рассчитать время в состоянии «соревновательного» стресса.

• Ознакомить с историей математического олимпийского движения, с организацией математических соревнований, системой оценивания заданий.
• Расширить, обобщить, дополнить и систематизировать теоретические и практические знания учащихся в вопросах, часто встречающихся на математических соревнованиях.
• Ознакомить с тематическим разнообразием заданий, различными нестандартными, «авторскими» задачами, методами и идеями их решения, рассмотреть понятие «красивая задача», показать идею обязательного требования к олимпиадным заданиям – новизна для участника соревнования.
• Учить определять различную степень подробности и глубины того или иного решения задачи, самостоятельно оценивать предложенное учащимся решение.
• Организовать самостоятельную работу учащихся, посещающих данный курс занятий.

Программа разработана на основе учебной литературы:

• П.И.Горнштейн, В.Б.Полонский, М.С.Якир. Задачи с параметрами. 3-е изд., допол. и перераб. – М.:ИЛЕКСА, 2007
• Понарин Я.П. Элементарная геометрия: В 2 т. – Т.1: Планиметрия, преобразования плоскости. – М.: МЦНМО, 2004
• Понарин Я.П. Элементарная геометрия: В 2 т. – Т.2: Стереометрия, преобразования пространства. – М.: МЦНМО, 2006

Причиной составления рабочей программы является отсутствие примерной, авторской, государственной программы по данному курсу занятий.

Курс занятий содержит материалы разных разделов учебных пособий,  имеет циклическую структуру, рассчитан на 34 или 68 часов.

При наличии большего количества часов на курс занятий по работе с одаренными учащимися темы курса могут быть углублены в содержательной части.

Таблица тематического распределения количества часов:

Что такое математическая олимпиада. История математических олимпиад. Школьные олимпиады. Районные (городские) олимпиады. Региональные (областные, республиканские) олимпиады. Федеральные окружные олимпиады. Заключительный этап олимпиады. Тематика математических олимпиад. Структура варианта. Организация проведения туров олимпиад, проверки работ. Определение победителей и призеров. Особенности подготовки и проведения разных туров олимпиад. Примеры задач, предлагавшихся на III-V этапах олимпиад.

Принцип Дирихле и делимость целых чисел. Принцип Дирихле в геометрии. Окраска плоскости и её частей. Таблицы. Графы. Смешанные задачи логического характера.

Четность. Остатки, алгебраическое выражение, раскраска, полуинвариант. Игры.

Делимость. Остатки. Сравнение по модулю. Признаки делимости. Уравнения и системы уравнений в целых числах. Разные задачи на целые числа.

Правила суммы и произведения. Размещения, перестановки, сочетания. Перестановки и сочетания с повторениями. Комбинированные задачи. Элементы теории вероятностей.

Числовые неравенства. Доказательство неравенств. Текстовые задачи. Многочлены, уравнения и системы уравнений. Последовательности и суммы.

Аналитические решения основных типов задач. Свойства функции в задачах с параметрами. Графические приемы. Координатная плоскость

«Каркас» квадратичной функции. Вершина параболы. Корни квадратичной функции. Теорема Виета. Задачи, сводящиеся к исследованию расположения корней квадратичной функции.

Применение производной: касательная к кривой, критические точки, монотонность, наибольшие и наименьшие значения функций, оценки, построение графиков функций. Методы поиска необходимых условий: симметрия, «выгодная точка», разные приемы.

Основные метрические соотношения в треугольнике и четырехугольнике. Площади. Четыре замечательные точки треугольника. Вневписанные окружности. Окружность девяти точек. Некоторые теоремы. Геометрические места точек плоскости. Геометрические неравенства и экстремумы

Движения плоскости. Подобия. Инверсия.

Ортогональное проектирование. Геометрические места точек пространства. Тетраэдр. Вычисление объемов тел. Сфера. Стереометрические неравенства и экстремумы.

Движения пространства. Подобия.

Требования к подготовке учащихся

В результате изучения курса «Олимпиадная математика» по работе с одаренными детьми учащиеся должны:

1.Структуру олимпиады, её тематическое разнообразие, основные требования к составлению вариантов олимпиад, систему оценивания олимпиадных заданий.

2.Основные методы решения заданий олимпиадной тематики в 10-11 классах.

• Определять тему решаемой задачи, рассмотреть возможность её решения известными методами.
• Делать логически верные выводы, следующие из условия задачи, строить строгие логические конструкции.
• Оценивать собственное решение или решение, предлагаемое учащимися в группе.
• Находить ошибку в собственном решении или решении, предлагаемом учащимися в группе.
• Четко, лаконично, аргументировано изложить решение задачи как устно, так и письменно, грамотно выступать оппонентом.

Список рекомендуемой учебно-методической литературы

Информационные образовательные ресурсы

Заместитель директорапо учебно-методической работеМАОУ СОШ №2

курса «Олимпиадная математика» по работе с одаренными учащимися

Руденко Елены Витальевны, Чус Ольги Николаевны

Количество часов: всего  часа; в неделю

Планирование составлено на основе рабочей программы курса «Олимпиадная математика» по работе с одаренными учащимися учителя математики и информатики МАОУ СОШ №2 Руденко Е.В.,

утвержденной решением педагогического совета МАОУ СОШ №2

протокол №___ от «__» ______2011 года

«Олимпиадная математика»по работе с одаренными учащимися

в 10-11 классе на 2011-2012 учебный год

(1ч в неделю, всего 34 часа)

Оре «Теория графов»

Графы – неотъемлемая часть олимпиадной математики. В них стоит разбираться, потому что они могут прийти на помощь абсолютно в любой момент.

Первые пять глав предложенной книги посвящены наглядному материалу и содержат основные понятия и свойства графов. В главе 6 даются основы теории вполне упорядоченных множеств, которая используется в дальнейшем для строгого абстрактного рассмотрения бесконечных графов.

В главе 7 особенно подробно излагается вопрос о паросочетаниях; глава 12 является естественным её продолжением. В главах 8—11 рассматриваются ориентированные графы, и затем на языке ориентированных графов изучаются частично упорядоченные множества. Последние три главы (13—15), представляющие немалый интерес, снова имеют дело с более наглядным материалом.

Книга даёт достаточно полное представление о направлениях исследований в теории графов. В ней приводятся упражнения и нерешённые задачи; сделана попытка ввести систематическую терминологию. Написана книга ясным и достаточно доступным математическим языком.

24 декабря – 20 января

Боревич «Определители и матрицы»

Отличное пособие для тех, кто хочет познакомиться с началами линейной алгебры.

В нем изложены темы: теория определителей, теория систем линейных уравнений, действия над матрицами, алгебраическая теория квадратичных форм. Изложение этих тем, сопровождаемое большим количеством примеров, проводится на конкретной основе без использования понятия векторного пространства и имеет своей целью подготовить читателя к последующему естественному восприятию абстрактных понятий линейной алгебры. В качестве приложения в книге изложена на матричном языке общая теория приведения уравнений кривых и поверхностей 2-го порядка к каноническому виду.

Методические разработки, презентации и конспекты

В книгу включены нестандартные геометрические задачи несколько повышенного по сравнению со школьными задачами уровня. Сборник содержит около 1900 задач с полными решениями и около 150 задач для самостоятельного решения.

Материалы данного пособия полностью покрывают тематику и сложность заданий олимпиад всех уровней и всех видов экзаменов, включая ЕГЭ и вступительные экзамены в вузы.

Гордин «Геометрия. Планиметрия 7-9 классы»

Книга содержит задачи различной сложности по основным темам школьного курса планиметрии 7-9 классов.

По каждой теме приводятся основные теоретические факты, ключевые задачи, подробные решения наиболее важных задач, задачи на отработку учебных навыков, для углубленного изучения геометрии и олимпиадные задачи. Большинству задач даются ответы, решения или указания.

Галицкий, А. Гольдман, Л. Звавич «Сборник задач по алгебре»

Участнику олимпиады немаловажно владеть хорошей технической базой.

Задачник Галицкого – отличное пособие для 7-9 классов, чтобы отточить навыки именно такие навыки. В нем собраны задачи, способствующие систематическому углублению изучаемого материала и развитию навыков решения сложных задач.

Акопян «Геометрия в картинках»

Эта книга представляет собой сборник теорем классической геометрии, сформулированных в виде картинок. В ней также собрано огромное количество задач, от совсем простых до очень сложных. Условия задач представлены в виде картинок.

Интенсивы по подготовке к региональному этапу ВсОШ

Все, что нужно знать
для победы, за 7 дней!

Олимпиада по математике. 10 класс.

Назовем «соросовским произведением» двух различных чисел, a и b, число a + b + ab. Можно ли, исходя из чисел 1 и 4, после многократного применения этой операции к уже полученным произведениям получить: а) число 1999; б) число 2000?

На валютной бирже продаются динары (D), гульдены (G), реалы (R) и талеры (T). Биржевые игроки имеют право совершать сделку купли-продажи с каждой парой валют не более одного раза в день. Курсы обмена следующие: D = 6G; D = 25R; D = 120T; G = 4R; G = 21T; R = 5T. Утром у игрока имелось 32 динара. Какое максимальное число а) динаров; б) талеров он может получить к вечеру?

Центр окружности, проходящей через середины всех сторон треугольника АВС, лежит на биссектрисе его угла С. Найдите сторону АВ, если ВС = а, АС = b(a не равно b).

Известно, что существует прямая, делящая периметр и площадь некоторого описанного около окружности многоугольника в одном и том же отношении. Докажите, что эта прямая проходит через центр указанной окружности.

Пусть прямая, перпендикулярная стороне AD параллелограмма ABCD, проходящая через точку В, пересекает прямую CD в точке M, а прямая, проходящая через точку В и перпендикулярная стороне CD, пересекает прямую AD в точке N. Докажите, что прямая, проходящая через точку В перпендикулярно диагонали АС, проходит через середину отрезка MN.

Возьмем на стороне ВС треугольника АВС произвольную точку D и проведем окружность через точку D и центры окружностей, вписанных в треугольники ABD и АCD. Докажите, что все окружности, полученные для различных точек D стороны ВС, имеют общую точку.

Агаханов, Кохась К. , Берлов С. , Власова Н. , Петров Ф. , Солынин А. , Храбров А. «Задачи Санкт-Петербургской олимпиады школьников»

Каждый год выходит новая книга с задачами, решениями и статьями по олимпиадной математике. Все задачи приведены с подробными решениями. Условия и решения геометрических задач сопровождаются рисунками.

А чтобы быть на 100% готовым к выступлению на олимпиадах, записывайтесь на . И вместе с нами «затащите» Всеросс!

Поделиться в социальных сетях

Сборник задач Всероссийской олимпиады (муниципального и заключительного туров) по математике с  ответами и полными решениями. Все приведенные задачи являются авторскими. Многие из них одновременно красивы и трудны, что отражает признанный в мире высокий уровень российской олимпиадной школы.

Книга предназначена для подготовки к математическим соревнованиям высокого уровня.

Мельников «Теория графов в занимательных задачах»

Задачи из этой книги могут быть использованы при подготовке к математическим олимпиадам различных уровней, а изложенные в занимательной форме основы теории графов помогут с легкостью усвоить эту тему.