Задания школьного этапа Всероссийской олимпиады школьников
1. Расшифруйте ребус, в котором одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры.
В деревне Простоквашино на скамейке перед домом сидит дядя Федор, кот Матроскин, пес Шарик и почтальон Печкин. Если Шарик, сидящий крайним слева, сядет между Матроскиным и Федором, то Федор окажется крайним слева. Кто где сидит?
Три подруги вышли погулять. Одна из них была в красном, другая – в желтом, а третья — в синем платье. Их сумочки из тех же цветов. Известно, что только у Лизы цвет платья и сумочки совпадают. Ни платье, ни сумочка Олеси не были красными, Полина была с желтой сумочкой. Определи цвет платья и сумочки каждой девочки.
Автор сказки «Красная шапочка» француз Шарль Перро родился в 1628 году, автор «Сказки о рыбаке и рыбке» А.С.Пушкин родился на 171 год позже, а автор сказки «Три медведя» Л.Н.Толстой родился на 29 лет позже А.С.Пушкина. Сколько лет прошло со дня рождения авторов любимых детских сказок до наших дней?
Взять четыре спички так, чтобы получилось (осталось) 5 квадратов.
Уважаемый участник олимпиады!
Школьная олимпиада по математике проводится в один тур.
Предлагается 5 задач различного уровня сложности.
Никаких особых требований по оформлению работы Вам не предъявляется. Форма изложения решения задач, а также способы решения могут быть любыми. Если у Вас есть какие-либо отдельные соображения по поводу той или иной задачи, но до конца решение Вы довести не можете, не стесняясь, излагайте все свои мысли. Даже частично решенные задачи будут оценены соответствующим числом баллов.
Начинайте решать более легкие на Ваш взгляд задачи, а затем переходите к остальным. Так Вы сэкономите время работы.
Желаем Вам успехов!
Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике
Задание 1. В выражении 1*2*3*4*5 замените «*» знаками действий и расставьте скобки так. Чтобы получилось выражение, значение которого равно 100.
Задание 2. Требуется расшифровать запись арифметического равенства, в котором цифры заменены буквами, причем разные цифры заменены разными буквами, одинаковые – одинаковыми.
Задание 3. Как при помощи чашечных весов без гирь разделить 80 кг гвоздей на две части – 15 кг и 65 кг?
Задание 4. Фигуру, изображенную на рисунке, разрежьте на две равные части так, чтобы в каждой части было по одной звездочке. Разрезать можно только по линиям сетки.
Задание 5. Чашка и блюдце вместе стоят 25 рублей, а 4 чашки и 3 блюдца стоят 88 рублей. Найдите цену чашки и цену блюдца.
Задание 1. Сравните дроби
, не приводя их к общему знаменателю.
Задание 2. Требуется расшифровать запись арифметического равенства, в котором цифры заменены буквами, причем разные цифры заменены разными буквами, одинаковые – одинаковыми. Предполагается, что исходное равенство верно и записано по обычным правилам арифметики.
ТРУД
+ВОЛЯ
УДАЧА
Задание 3. В летний лагерь приехали отдыхать три друга: Миша, Володя и Петя. Известно, что каждый из них имеет одну из следующих фамилий: Иванов, Семенов, Герасимов. Миша – не Герасимов. Отец Володи – инженер. Володя учится в 6 классе. Герасимов учится в 5 классе. Отец Иванова – учитель. Какая фамилия у каждого из трех друзей?
Задание 4. Разделите фигуру по линиям сетки на четыре одинаковые части так чтобы в каждой части оказалось по одной точке.
Задание 5. Попрыгунья стрекоза половину времени каждых суток красного лета спала, третью часть времени каждых суток танцевала, шестую часть – пела. Остальное время она решила посвятить подготовке к зиме. Сколько часов в сутки Стрекоза готовилась к зиме?
Задание1. Решите ребус, если известно, что наибольшая цифра в числе СИЛЕН равна 5:
+РЕШИ
ЕСЛИ
СИЛЕН
Задание 2. Решите уравнение│7 – х│ = 9,3
Задание 3.После семи стирок длина, ширина и толщина мыла уменьшились вдвое. На сколько таких же стирок хватит оставшегося мыла?
Задание 4. Прямоугольник 4 × 9 клеток разделите по сторонам клеток на две равные части так, чтобы из них затем можно было составить квадрат.
Задание 5. Деревянный куб покрасили белой краской со всех сторон, а затем распилили на 64 одинаковых кубика. Сколько кубиков оказалось окрашенными с трёх сторон? С двух сторон?
С одной стороны? Сколько кубиков не окрашено?
Задание 1. Какими двумя цифрами заканчивается число 13!
Задание 2. Сократите дробь:
Задание 3. Школьный драмкружок, готовясь к постановке отрывка сказки А.С. Пушкина о царе Салтане, решил распределить роли между участниками.
– Я буду Черномором, – сказал Юра.
– Нет, Черномором буду я, – заявил Коля.
– Ладно, – уступил ему Юра, – я могу сыграть Гвидона.
– Ну, я могу стать Салтаном, – тоже проявил уступчивость Коля.
– Я же согласен быть только Гвидоном! – произнес Миша.
Желания мальчиков были удовлетворены. Как распределились роли?
Задание 4. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АВ = 8м проведена медиана АD. Периметр треугольника АСD больше периметра треугольника АВD на 2м. Найти АС.
Задание 5. Николай купил общую тетрадь в 96 листов и пронумеровал страницы от 1 до 192. Племянник Артур вырвал из этой тетради 35 листов и сложил все 70 чисел, которые на них написаны. Могло ли у него получиться 2010.
Задание 1. Найдите последнюю цифру числа 19891989.
Задание 2. Сумма корней некоторого квадратного уравнения равна 1, а сумма их квадратов равна 2. Чему равна сумма их кубов?
Задание 3. По трём медианам ma, mb и mc ∆ АВС найти длину стороны АС = b.
Задание 4. Сократите дробь
Задание 5. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы в слове «камзол»?
Задание 1. В настоящее время есть монеты 1, 2, 5, 10 рублей. Укажите все денежные суммы, которые можно уплатить как четным, так и нечетным числом монет.
Задание 3. В четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке М. Известно, что АМ = 1,
ВМ = 2, СМ = 4. При каких значениях DM четырехугольник ABCDявляется трапецией?
Задание 4. Решите систему уравнений
Задание 5. Тридцать школьников – десятиклассников и одиннадцатиклассников – обменялись рукопожатиями. При этом оказалось, что каждый десятиклассник пожал руку восьми одиннадцатиклассникам, а каждый одиннадцатиклассник подал руку семи десятиклассникам. Сколько было десятиклассников и сколько одиннадцатиклассников?
Ключи к ответам
Задачи Всероссийской олимпиады школьников по математике
1. Вычеркните в числе 3000627 пять цифр так, чтобы оставшееся число стало наибольшим.
2. На листе бумаги нарисованы квадрат и прямоугольник. Квадрат имеет площадь 25 кв.см. Одна из сторон прямоугольника на 1 см больше стороны квадрата, а другая сторона на 2 см меньше стороны квадрата. Найдите площадь этого прямоугольника.
3. Три подруги вышли погулять, одна из них была в белом, другая в зелёном, а третья в синем платье. Их туфли из тех же трёх цветов. Известно, что у Ани цвет платья и цвет туфель совпадают. Ни платье, ни туфли Вали не были белыми, Наташа была в зелёных туфлях. Определить цвет платья и цвет туфель каждой девочки.
5. На скотном дворе гуляли гуси и поросята. Мальчик сосчитал количество голов, их оказалось 30, а затем он сосчитал количество ног, их оказалось 84. Сколько гусей и сколько поросят было на школьном дворе?
Ключи школьной олимпиады по математике
1. Ответ. 67.
2. Ответ. 18 кв.см.
Сторона квадрата 5 см, тогда одна сторона прямоугольника 6 см, а другая – 3см. Площадь прямоугольника 6 3 = 18 (кв. см).
3. Ответ. У Ани белое платье и белые туфли, у Вали зелёное платье и синие туфли, у Наташи синее платье зелёные туфли.
Так как у Наташи туфли зелёные, а у Вали не белые, а значит и не зелёные, то у Вали туфли синие, поэтому у Ани туфли белые, но у неё и платье того же цвета, то есть белое. У Наташи туфли зелёные, а платье другого цвета и не белое, значит, у Наташи платье синее, поэтому у Вали платье зелёное.
4. Ответ. 6216.
5. Ответ. 12 поросят и 18 гусей.
1 шаг. Представьте, что все поросята подняли по две ноги вверх.
2 шаг. На земле осталось стоять 30 ∙ 2 = 60 ног.
3 шаг. Подняли вверх 84 — 60 = 24 ноги.
4 шаг. Подняли 24 : 2 = 12 поросят.
5 шаг. 30 — 12 = 18 гусей.
1. Расставьте скобки в выражении 7 – 6 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 = 0 так, чтобы получилось верное равенство.
2. У Карлсона в шкафу стоят 5 банок малинового, 8 банок земляничного, 10 банок вишнёвого и 25 банок клубничного варенья. Может ли Карлсон съесть всё варенье, если каждый день он хочет съедать 2 банки варенья, при этом обязательно из разных ягод?
3. В ящике лежат шары: 5 красных, 7 синих и 1 зелёный. Сколько шаров надо вынуть, чтобы достать два шара одного цвета?
4. Мальчик по чётным числам всегда говорит правду, а по нечётным всегда врёт. Как-то его три ноябрьских дня подряд спрашивали «Как тебя зовут?» На первый день он ответил: «Андрей», на второй: «Матвей», а на третий: «Виктор». Как зовут мальчика? Объясните, как вы рассуждали.
5. На окраску куба размерами 2 х 2 х 2 требуется 2 грамма краски. Сколько краски потребуется на покраску куба размерами 6 х 6 х 6?
1. Ответ: 7 – (6 – 5) – 4 – (3 –2) – 1.
2. Ответ: не может.
Решение. Каждую банку клубничного варенья Карлсон съедает вместе с какой-то банкой из 5 + 8 + 10 = 23 банок другого варенья. Значит, он съест не более 23 банок клубничного варенья и всё варенье съесть не сможет.
3. Ответ: 4 шара.
Решение. Из ящика можно достать, не повторяясь, шаров различных цветов 3 штуки. Поэтому, чтобы достать два шара одного цвета надо вынуть 4 шара.
4. Ответ. Матвей.
Решение. Так как мальчик дал три разных ответа, то он хотя бы два раза соврал. Поэтому два дня из трёх, когда мальчику задавали вопросы, пришлись на нечётные числа. Поскольку чётные и нечётные числа месяца чередуются, это должны были быть первый и третий дни. Стало быть, второй день пришёлся на чётное число. В этот день мальчик и назвал своё имя.
5. Ответ. 18 г
Решение. Площадь одной грани первого куба 2 х 2. Так как у куба шесть граней, то площадь всех граней первого куба 2 х 2 х 6=24. Площадь всех граней второго куба 6 х 6 х 6 = 216. Площадь граней второго куба больше площади граней первого куба в 216 : 24 = 9 раз. Значит, на куб 6 х 6 х 6 потребуется краски в 9 раз больше, то есть 2 х 9=18 г.
1. Сколько существует двузначных чисел, в записи которых не употребляется цифра 1?
2. Петя сказал, что у него братьев и сестёр поровну, а Маша сказала, что у неё братьев в три раза больше, чем сестёр. Сколько детей в семье, если Маша и Петя – брат и сестра?
3. На каждой перемене Робин-Бобин-Барабек съедает по конфете. За неделю (с понедельника по субботу) было 30 уроков. Сколько всего конфет съел Робин на переменах?
4. Сколько прямоугольных пластин размером 2045 см можно вырезать из фанерного листа размером 120240 см? (Ответ обосновать).
5. Улитка взбирается на ветку длиной 10дм. За день она поднимается на 4 дм, а за ночь сползает вниз на 3 дм. Через сколько дней улитка достигнет конца ветки?
1. Ответ: 72.
90 – 18 = 72.
2. Ответ. 5 детей (3 брата и 2 сестры).
Решение. Пусть сестёр в семье x. Тогда из ответа Пети следует, что братьев в семье x+1. Теперь из ответа Маши получаем уравнение x+1=3(x–1), откуда x=2.
3. Ответ. 24 конфеты.
Решение. Если бы все эти уроки произошли в один день, то Робин съел бы 29 конфет (количество промежутков между 30 уроками). Но так как между последним уроком какого-то дня и первым уроком следующего дня конфета не съедается, то нужно ещё вычесть 5 конфет (по количеству промежутков между шестью днями), т.е. итого получается, что Робин съел 30 – 5=24 конфеты
4. Ответ: 32 пластины.
1) 120·240 = 28800(см²) – площадь фанерного листа
2) 20·45 = 900(см²) – площадь пластины
3) 28800:900 = 32.
5. Ответ: 7 дней.
Решение. В 1-й день улитка поднимется до 4 дм, ночью спустится до 1 дм. Во 2-й день поднимется до 5 дм, ночью спустится до 2 дм. В 3-й день поднимется до 6 дм, ночью спустится до 3 дм. В 4-й день поднимется до 7 дм, ночью спустится до 4 дм. В 5-й день поднимется до 8 дм, ночью спустится до 5 дм. В 6-й день поднимется до 9 дм, ночью спустится до 6 дм. Во 7-й день поднимется до 10 дм. (Может быть и графическое решение)
1. Из 38 учащихся 28 посещают хор и 17 лыжную секцию. Сколько лыжников посещает хор, если в классе нет учащихся, которые не посещают хор или лыжную секцию?
2. Найдутся ли натуральные числа x, y и z, удовлетворяющие уравнению: 28x + 30y + 31z = 365?
3. Сторона AC треугольника ABC точками D и E разделена на три равные части (точка D лежит между A и E). Докажите, что если BD=BE, то треугольник ABC – равнобедренный.
4. Четырёх кошек взвесили попарно во всех возможных комбинациях. Получились массы 7 кг, 8 кг, 9 кг, 10 кг, 11 кг, 12 кг. Какова общая масса всех кошек?
5. Вдоль забора растут 10 кустов смородины. Число ягод на соседних кустах отличается на 1. Может ли на всех кустах вместе быть 1000 ягод?
1. Ответ: 7 человек. Хор не посещают 10 человек, все они лыжники.
2. Ответ. Да найдутся.
Решение: Например, x = 1 (февраль), y = 4 (апрель, июнь, сентябрь, ноябрь) z = 7 (все остальные месяцы в году). Ещё решение: x = 2, y = 1, z = 9.
3. Решение. Так как треугольник BDE равнобедренный, то BDE=BED. Значит, равны соответствующие смежные углы: ADB=CEB. По условию, AD=EC и BD=BE. Поэтому треугольники ADB и CEB равны (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство сторон AB и BC. Отсюда следует, что треугольник ABC равнобедренный.
4. Ответ:12 кг.
Решение. Пусть масса кошек a, b, c, d соответственно, тогда, а + b = 7, а + с = 8,
а + d = 9, b + с = 10, b + d = 11, с + d = 12. Сложив эти равенства, получим:
3a + 3b + 3c + 3d = 57, откуда масса четырёх кошек равна: a + b + c + d = 57 : 3 = 19 (кг).
5. Ответ. Не может.
Решение. Число ягод на двух соседних кустах отличается на 1, поэтому на двух соседних кустах вместе нечётное число ягод. Тогда количество ягод на десяти кустах равно сумме пяти нечётных чисел, т.е. числу нечётному. Значит, на всех кустах вместе не может быть 1000 ягод.
1. Автомобиль проехал 600 км. Первую половину пути он двигался со скоростью 100 км/ч, а вторую – 60 км/ч. Найдите среднюю скорость движения автомобиля.
2. На доске написано число 543254325432. Некоторые цифры стёрли так, чтобы получить наибольшее возможное число, делящееся на 9. Чему равно это наибольшее число?
3. В треугольнике ABC проведена медиана AD. Найдите углы треугольника ABC, если ADC=120, DAB=60.
4. Стрелок десять раз выстрелил по стандартной мишени и выбил 90 очков.
Сколько попаданий было в семёрку, восьмёрку и девятку, если десяток было четыре, а других попаданий и промахов не было?
5. Четверо ребят – Алексей, Борис, Владимир и Григорий участвовали в лыжных гонках. На следующий день, на вопрос кто какое место занял, они ответили так:
Алексей: Я не был ни первым и ни последним;
Борис: Я не был последним;
Владимир: Я был первым;
Григорий: Я был последним.
Известно, что три из этих ответов были правдивыми, а один – ложью. Кто сказал правду? Кто был первым?
1. Ответ: 75 км/ч.
600 : 2 = 300 (км) – половина пути;
300 : 100 = 3 (ч) – время, затраченное на первую половину пути;
300 : 60 = 5 (ч) – время, затраченное на вторую половину пути;
3 + 5 = 8 (ч) – время движения автомобиля;
600 : 8 = 75 (км/ч) — средняя скорость движения автомобиля.
2. Ответ. 5435432532.
Решение. Из признака делимости на 9 следует, что сумма стёртых цифр должна быть равна 6. Из двух чисел больше то, в записи которого больше цифр. Поэтому нужно стереть две цифры – либо 3 и 3, либо 2 и 4. Из двух десятиразрядных чисел больше то, у которого в старших разрядах стоят большие цифры. Поэтому нужно стереть первую двойку и последнюю четвёрку.
3. Ответ. A=90, B=60, C=30.
Решение. Так как ADC=120, то ADB=60. Значит, треугольник ADB равносторонний (и ABD=60). Тогда BD = AD = DC и треугольник ADC равнобедренный. Значит DAC= DCA=(180–120):2=30. Откуда BAC = 90°.
4. Ответ. В семёрку – 1 попадание, в восьмерку – 2 попадания, в девятку – 3 попадания.
Решение. Так как стрелок попадал лишь в семёрку, восьмёрку и девятку в остальные шесть выстрелов, то за три выстрела (так как по крайней мере по одному разу в семёрку, восьмёрку и девятку стрелок попал) он наберёт 7 + 8 + 9 = 24 очка. Тогда за оставшиеся 3 выстрела надо набрать 26 очков. Что возможно при единственной комбинации 8 + 9 + 9 = 26. Итак, в семёрку стрелок попал 1 раз, в восьмёрку – 2 раза, в девятку – 3 раза.
5. Ответ: правду сказали Алексей, Борис, Григорий. Первым был Борис.
Предположим, что солгал Алексей, тогда получается, что он был первым или последним. Значит, солгали ещё Владимир или Григорий. А это противоречит тому, что солгал всего один из ребят.
Пусть солгал Борис. Тогда он был последним. Но Григорий также утверждал, что он был последним. Значит, данного случая также не может быть.
Пусть солгал Владимир. Тогда он был не первым. В этом случае всё получается и первым тогда будет Борис.
Последний случай, когда солгал Григорий. Быть не может, так как тогда последним никто из ребят не был.
2. Известно, что a
+ a. Какие значения может принимать выражение a(a
3. По круговой дороге велодрома едут два велосипедиста с неизменными скоростями. Когда они едут в противоположных направлениях, то встречаются каждые 10 секунд, когда же они едут в одном направлении, то один настигает другого каждые 170 секунд. Какова скорость каждого велосипедиста, если длина круговой дороги 170 метров?
4. Известно, что в ABC A = 2C, сторона ВС на 2см больше стороны АВ, а АС = 5см. Найти АВ и ВС.
1. Ответ: 5050.
Решение. Заметим, что равенство a
+ c можно записать в виде: a
= c—b. Аналогично имеем b
) = a(c—b) + b(a—c) + c(b—a) =
ас – аb + ab – bc + bc – ac =0 .
3. Ответ. 9 м/с и 8 м/с.
Решение. Пусть скорости велосипедистов равны х м/с и у м/с (х у). Тогда 10(х + у) = 170 и 170(х – у) = 170. Отсюда находим, х = 9 м/с, у = 8 м/с.
4. Ответ. АВ = 4 см, ВС = 6 см.
Решение. Проведём биссектрису AD. Введём обозначения: ВАD = 1, DAC = 2, ACB = 3. Тогда 1 = 2 = 3. В ADC AD = DC. Пусть АВ = х, AD = DC = y, тогда ВС = х + 2, BD = x + 2 – y. Заметим, что ABD ~ CВА по двум углам (В – общий, 1 = 3).
Из подобия имеем:
Для нахождения х и у получим систему уравнений:
. Решая её, получим:
, откуда 5у – 10 = 2у, у =
Значит, АВ = 4 см, ВС = 6 см.
1. Решите систему уравнений:
2.Среднее арифметическое десяти различных натуральных чисел равно 15. Найдите наибольшее возможное значение наибольшего из этих чисел.
3. В мешке лежат 26 синих и красных шаров. Среди любых 18 шаров есть хотя бы один синий, а среди любых 10 шаров есть хотя бы один красный. Сколько красных шаров в мешке.
4. Отрезки AM и BH — соответственно медиана и высота треугольника ABC.
Известно, что AH = 1 и 2МАС = МСА. Найти длину стороны BC.
5. Лист бумаги разрезали на 5 частей, некоторые из этих частей разрезали на 5 частей, и т. д. Может ли за некоторое число разрезаний получиться 2006 листка бумаги?
1. Ответ: х = ; у = ; z = .
Введём новые обозначения: = u, = v, = t
Теперь нетрудно получить u = 3,5; v = 2,5; t = 1,5,
тогда x = ; y = ; z = .
Решение. Так как из 18 шаров найдётся хотя бы один синий, то красных не более 17, а из любых 10 шаров найдётся хотя бы один красный, то есть синих не более 9. Так как всех шаров 26, то синих – 9, красных – 17.
4. Ответ. 2 см.
Решение. Проведём отрезок МН, он будет медианой прямоугольного треугольника BHC, проведённой к гипотенузе BC и равен её половине. Тогда MHC – равнобедренный, поэтому MHC = MCH = 2MAC, значит, HMA = HAM, поэтому, AH = HM = MC = 1 и BC = 2MC = 2 см.
5. Ответ: не может.
Решение. Замечаем, что при каждом разрезании из одного листка получаем, пять листков, т. е. число листков увеличивается на 4. Следовательно, из исходного листа может получиться число листков вида 1 + 4n, где n € N, т. е. это число при делении на 4 дает остаток 1. Но 2006 = 4 501 + 2. Следовательно, 2006 листков получиться не может.
- Поросята Ниф-Ниф и Нуф-Нуф бежали от волка к домику Наф-Нафа. Волку бежать до поросят 4 минуты (если они стоят). Поросятам бежать до домика Наф-Нафа 6 минут. Волк бежит в 2 раза быстрее поросят. Успеют ли поросята добежать до Наф-Нафа?
- Задания школьного этапа Всероссийской олимпиады школьников
- Всероссийская олимпиада по математике с решением и ответами
Поросята Ниф-Ниф и Нуф-Нуф бежали от волка к домику Наф-Нафа. Волку бежать до поросят 4 минуты (если они стоят). Поросятам бежать до домика Наф-Нафа 6 минут. Волк бежит в 2 раза быстрее поросят. Успеют ли поросята добежать до Наф-Нафа?
О Т В Е Т Ы
1.(6 баллов) Расшифруйте ребус, в котором одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры.
Вариантов ответов несколько, например 321 + 11 = 332. А = 3, Б = 2, В = 1 или 642+22=664( 6 баллов за каждый вариант)
2. (6 баллов) В деревне Простоквашино на скамейке перед домом сидит дядя
Федор, кот Матроскин,пес Шарик и почтальон Печкин. Если Шарик, сидящий крайним слева,сядет между Матроскиным и Федором, то Федор окажется крайним слева. Кто где сидит?
. Слева направо сидят: Шарик,Федор,Матроскин,Печкин
Три подруги вышли погулять. Одна из них была в красном, другая – в желтом, а третья — в синем платье. Их сумочки из тех же цветов. Известно, что только у Лизы цвет платья и сумочки совпадают. Ни платье, ни сумочка Олеси не были красными, Полины была с желтой сумочкой. Определи цвет платья и сумочки каждой девочки.
Лизы — красное платье и красная сумочка; у Олеси — желтое платье и синяя сумочка; у Полины– синее платье и желтая сумочка.
Представим в виде таблицы решение задачи.
Полина была с желтой сумочкой. Значит, у неё не было красной и синей сумочек. А у Лизы и Олеси не было желтой сумочки.
Значит красная сумочка у Лизы. И красное платье у Лизы.
2014-1628=386лет прошло со дня рождения Ш.Перро
2014-1799=215 лет прошло со дня рождения А.С.Пушкина
2014-1828=186 лет прошло со дня рождения Л.Н.Толстого
5.( 6 баллов) Взять четыре спички так, чтобы получилось (осталось) 5 квадратов.
Волку надо бежать до домика Наф-Нафа 4+6:2=7(мин), а поросятам 6 мин. 6меньше 7, значит поросята успеют добежать до домика Наф-Нафа.
Задания школьного этапа Всероссийской олимпиады школьников
. Малыш, Алиса, Кай и Женя заняли первые четыре места в соревнованиях, причем никто из них не делил между собой какие-нибудь места. Известно:
- Малыш не был ни первым, ни четвертым.
- Алиса заняла второе место.
- Кай не был последним.
Какое место занял каждый?
Мама дала Зое денег ,чтобы она в школьном буфете купила завтрак.
Когда Зоя вер вернулась из школы, то перед мамой отчиталась так: «1/2 всех денег я истратила на бумагу,1/5 -на чай, а 3/10 -на конфеты». Мама догадалась, что дочь истратила все деньги. Как она узнала ?
. «Змей Горыныч побежден!»-такая молва дошла до Микулы Селяниновича. Он знал, что мог это сделать либо Илья Муромец, либо Алеша Попович, либо Добрыня Никитич. Вскоре Микуле сообщили:
1)Змея Горыныча победил не Илья Муромец;
2)Змея Горыныча победил Алеша Попович.
Спустя некоторое время выяснилось, что одно их этих сообщений неверное, а другое верное. Догадайтесь, кто из трех богатырей победил Змея Горыныча.
Трое рыбаков поймали 75 карасей. Стали варить уху. Когда один дал 8 карасей, а другой 12, а третий-7, то карасей у них стало поровну. Сколько карасей поймал каждый рыбак?
. Имеется 8 палочек длиной в 1см, 8 палочек длиной в 2см и 7 палочек длиной в 5 см.
Можно ли из всех палочек этого набора сложить прямоугольник?
Разламывать палочки нельзя.
О Т В Е Т Ы И РЕШЕНИЯ
В записи (88888888) нужно поставить знаки сложения таким образом, чтобы получилась сумма, которая будет равна 1000. Способ 1: 88+8+8+8+888=1000 Способ 2: 8+8+888+88+8=1000.
Малыш-3, Алиса-2, Кай-1, Женя-4 место.
Мама дала Зое денег ,чтобы она в школьном буфете купила завтрак. Когда Зоя вер вернулась из школы, то перед мамой отчиталась так: «1/2 всех денег я истратила на бумагу,1/5 -на чай, а 3/10 -на конфеты». Мама догадалась, что дочь истратила все деньги. Как она узнала?
1/2+1/5+3/10=1, т.е. все деньги
. (6 баллов) «Змей Горыныч побежден!»-такая молва дошла до Микулы Селяниновича. Он знал, что мог это сделать либо Илья Муромец, либо Алеша Попович, либо Добрыня Никитич. Вскоре Микуле сообщили:
2)Змея Горыныча победил Алеша Попович. Спустя некоторое время выяснилось, что одно их этих сообщений неверное, а другое верное. Догадайтесь, кто из трех богатырей победил Змея Горыныча.
. Добрыня Никитич.
. Предположим, что Змея Горыныча победил Илья Муромец. Тогда оба сообщения неверные-результат не соответствует условию задачи. Предположим, что Змея Горыныча победил Алеша Попович.Тогда оба сообщения верные. И этот результат не соответствует условию задачи.
Предположим, что Змея Горыныча победил Добрыня Никитич.Тогда первое сообщение верное, а второе- неверное. Результат соответствует условию задачи
Трое рыбаков поймали 75 карасей. Стали варить уху. Когда один дал 8 карасей , а другой 12, а третий-7, то карасей у них стало поровну. Сколько карасей поймал каждый рыбак?
75-8-12-7=48(осталось всего окуней)
48 окуней на 3 рыбака.48:3=16
У каждого рыбака осталось по 16 окуней
16+ 8 = 24 — поймал 1 рыбак
16 + 12 = 28 — поймал 2 рыбак
16 + 7 = 23 — поймал 3 рыбак
24, 28, 23.
Имеется 8 палочек длиной в , 8 палочек длиной в и 7 палочек длиной в . Можно ли из всех палочек этого набора сложить прямоугольник? Разламывать палочки нельзя.Если a и b – длины сторон прямоугольника, периметр P = 2(a+b), т. е. P – четное число в случае целых a и b. 8*1+8*2+7*5=8+16+35=59 (см) – нечетное число.Поэтому из всех палочек данного набора прямоугольник сложить нельзя.
Всероссийская олимпиада по математике с решением и ответами
На столе стоят три пустых банки из-под меда. Винни-Пух, Кролик и Пятачок по очереди кладут по одному ореху в одну из банок. Их порядковые номера до начала игры определяются жребием. При этом Винни может добавлять орех только в первую или вторую банку, Кролик – только во вторую или третью, а Пятачок – в первую или третью. Тот, после чьего хода в какой-нибудь банке оказалось ровно 1999 орехов, проигрывает. Докажите, что Винни-Пух и Пятачок могут, договорившись, играть так, чтобы Кролик проиграл.
Пусть Винни и Пятачок вначале кладут свои орехи во вторую и третью банки, несмотря на ходы Кролика, до тех пор, пока в одной из банок не станет 1998 орехов. После этого тот, кто должен класть орехи в эту банку (пусть, например, это Винни) начинает класть их в I. При этом он уже положил во II банку не менее 999 орехов, значит, в III орехов тоже не менее 999 (туда их клал Пятачок). После этого Пятачок продолжает класть в III банку орехи, пока там не станет 1998 – это произойдёт не более, чем через 500 ходов, так как в III банку также приходится класть орехи Кролику, чтобы не проиграть. После этого Пятачок также может класть орехи в I банку, так как там не более 500 орехов, положенных Винни, а Кролик вынужден будет положить орех во II или III, где их уже по 1998.
Итак, НОД всегда должен быть не меньше 2. Если какие-то члены последовательности a и a не равны друг другу, то a < max (a,a) и a ≠ a.
Мы получили, что максимальное число в парах идущих подряд членов последовательности монотонно убывает, т. е. когда-то станет равным 1, и тогда НОД у каких-то членов тоже станет равен 1, что не должно случиться.
Итак, все члены последовательности должны равняться друг другу и их НОД = 2, т.е. a = 2.
Пусть окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон AB, BC и AC в точках K, L и M соответственно. К окружностям, вписанным в треугольники BKL, CLM и AKM, проведены попарно общие внешние касательные, отличные от сторон треугольника ABC. Докажите, что эти касательные пересекаются в одной точке.
Пусть K, L, M – точки касания вписанной окружности, со сторонами AB, BC, AC соответственно, O, O, O – центры малых окружностей, так как ∠ KOM = 90 + ( ∠ A/2), а ∠ KLM = 90° – ( ∠ A/2), то ∠ KOM + ∠ KLM = 180, и O лежит на вписанной в треугольник ABC окружности. Аналогично O и O лежат на этой окружности и являются серединами дуг KL и LM. Используя результат задачи 9.3 заключаем, что построенные касательные проходят через центр окружности, вписанной в треугольник KLM, что и требовалось доказать.
Из доказанных неравенств получаем , т.е. утверждение задачи в этом случае верно.
Сумма цифр в десятичной записи натурального числа n равна 100, а сумма цифр числа 44n равна 800. Чему равна сумма цифр числа 3n?
Заметим, что 44n есть сумма 4 экземпляров числа n и 4 экземпляров числа 10n. Если складывать эти числа поразрядно, то в каждом разряде окажется сумма учетверённой цифры из этого же разряда числа n и учетверённой цифры из следующего разряда. Если при этом не происходит никаких переносов, то каждая цифра числа n складывается 8 раз, и сумма цифр во всех разрядах оказывается равной 800. При переносах же сумма цифр, очевидно, уменьшается (так как из одного разряда вычитается 10, а к другому прибавляется только 1). Поэтому в ситуации условия задачи переносов не происходит. Это означает, в частности, что любая цифра числа n не превосходит 2. Тогда при умножении n на 3 просто умножается на 3 каждая его цифра, а, значит, и сумма цифр. Поэтому сумма цифр числа 3n равна 300.
Для некоторых положительных чисел x и y выполняется неравенство x² + y³ ≥ x³ + y. Докажите, что x³ + y³ ≤ 2.
Вначале докажем, что
Допустим противное: x + y² < x² + y³, тогда, складывая это неравенство с неравенством x³ + y ≤ x² + y³, получим (x + x³) + (y² + y) < 2x² + 2y³, что противоречит неравенствам x + x³ ≥ 2x² и y² + y ≥ y³.Из доказанного неравенства получаем
x + y² ≥ x² + y³ ≥ x³ + y, откуда 2x + 2y² ≥ x² + y³ + x³ + y.
Замечая, что (1 + x²) + (1 + y) ≥ 2x + 2y² ≥ x² + y³ + x³ + y, получаем неравенство 2 + x² + y ≥ x² + y³ + x + y, равносильное требуемому.
В некоторой группе из 12 человек среди каждых 9 найдутся 5 попарно знакомых. Докажите, что в этой группе найдутся 6 попарно знакомых.
