Задания по математике для школьного этапа олимпиады 7 класс Учитель Колесникова М.Г | Олимпиадные задания по математике (7 класс) по теме: | Образовательная социальная сеть

Задания по математике  для школьного этапа олимпиады

7 класс Учитель Колесникова М.Г

№ 1

Найдите сумму .

№ 2

В турнире по футболу участвовало 7 команд, которые набрали 14, 13, 9, 8, 7, 4 и 3 очка. За победу присуждалось 3 очка, за ничью – 1 очко, за поражение – 0 очков. Сколько матчей в турнире закончилось вничью?

№ 3

5 школьников приехали из 5 различных городов в Архангельск на областную математическую олимпиаду. «Откуда вы, ребята?» – спросили их хозяева. Вот что ответил каждый из них.

Андреев: «Я приехал из Онеги, а Григорьев живет в Каргополе».

Борисов: «В Каргополе живет Васильев. Я же прибыл из Коряжмы».

Васильев: «Я прибыл из Онеги, а Борисов – из Котласа».

Григорьев: «Я прибыл из Каргополя, а Данилов из Вельска».

Данилов: «Да, я действительно из Вельска, Андреев же живет в Коряжме».

Хозяева очень удивились противоречивости ответов приехавших гостей. Ребята объяснили им, что каждый из них высказал одно утверждение правильное, а другое ложное. Но по их ответам вполне можно установить, кто откуда приехал. Откуда приехал каждый школьник?

№4

Начертить четырехугольник, который можно разбить одной прямой на три треугольника.

№5

Цену товара уменьшим на 10%, а потом еще на 10%, стал ли бы товар дешевле, если бы его цену сразу снизили на 20%.

Решения (7 класс)

1. . Тогда сумма равна .

2. Всего было сыграно  матчей. Если бы они все закончились победой одной из команд, то сумма очков, набранных всеми командами, была бы равна . Но из условия задачи следует, что общая сумма набранных очков равна 58. Поскольку при каждой ничье всего командам присуждается по одному очку, то из трех очков при ничье теряется одно. Но всего потерянных очков в турнире будет . Значит, 5 матчей закончились вничью.

3. Пусть у Андреева первое утверждение верное, то есть он из Онеги. Тогда Григорьев живет не в Каргополе. Поэтому второе утверждение Данилова – ложное, значит, он из Вельска. Тогда первое утверждение Григорьева – ложно. Так как Андреев из Онеги, то первое утверждение Васильева ложно, поэтому Борисов – из Котласа. Так как Григорьев не из Каргополя, то остается, что он из Коряжмы, а Васильев из Каргополя.

Рассмотрим второй возможный вариант. Пусть у Андреева второе утверждение – правильное, тогда Григорьев приехал из Каргополя. Значит, Данилов приехал не из Вельска, а Андреев не из Онеги. Тогда у Борисова первое утверждение ложное (в Каргополе живет Григорьев), значит, Борисов прибыл из Коряжмы.

Поэтому Андреев не из Коряжмы и получается, что Данилов из Вельска. Получили противоречие: Данилов из Вельска и не из Вельска. Значит, второй вариант невозможен.

Ответ: Андреев из Онеги, Борисов из Котласа, Васильев из Каргополя, Григорьев из Коряжмы, Данилов из Вельска.

          4.

       5. Первоначально стоимость х после первого снижения стоимость товара 0,9х 10% от 0,9х осталось 0,09х. После второго снижения 0,9х-0,09х=0,81х. Цена снизилась от первоначальной на 19%.

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике

2022-2020 учебный год, 7 класс

ЗАДАНИЯ (1 вариант)

1.Сколько имеется четырёхзначных чисел, которые делятся на 45, а две средние цифры в которых 9 и 7?

2.Морская вода содержит 5% соли. Сколько килограмм пресной воды нужно добавить к 40 кг морской воды, чтобы содержание соли в смеси составило 2%?

3.Теплоход проходит путь между двумя пристанями по течению за 3 часа, а возвращается обратно за 4 часа. За какое время плот преодолеет это расстояние?

4.От прямоугольника 324х141см отрезают несколько квадратов со стороной в 141 см, пока не останется прямоугольник, у которого длина одной стороны меньше 141 см. От полученного прямоугольника отрезают квадраты, стороны которых равны по длине его меньшей стороне, до тех пор, пока это возможно, и т.д. Какова длина стороны последнего отрезанного квадрата?

5.Руководитель математического кружка нашёл ошибку в совместной работе трёх учеников: Дмитрия, Ильи и Алексея. На занятии кружка они стали оправдываться.

Илья.1) Не я ошибся. 2)Ошибку допустил Алексей.  3)Я написал другую часть работы.

Дмитрий. 1) Ошибку сделал Алёша. 2) Я знаю, как её исправить.  3)Ошибались и великие математики.

Алексей. 1)Не я ошибся. 2) Я давно подозревал, что здесь что-то не так. 3) Илья действительно писал другую часть работы.

Руководитель кружка знал, что два из трёх утверждений каждого верны, а одно – неверно. Кто из учеников допустил в работе ошибку?

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике

2022-2020 учебный год, 7 класс

ЗАДАНИЯ (2 вариант)

1.Можно ли число 203 представить в виде суммы нескольких натуральных чисел так, чтобы произведение всех этих чисел тоже было равно 203?

2.Ученику прислали задание, состоящее из 20 задач. За каждую верно решённую задачу ему ставят 8 баллов, за каждую неверно решённую – минус 5 баллов, за задачу, за которую он не брался решать – 0 баллов. Ученик получил в сумме 13 баллов. Сколько задач  он брался решать?

3.Фонтан на площади города связан с часами на башне: он работает, когда хотя бы одна из стрелок часов находится между цифрами 3 и 4 или между цифрами 8 и 9. Сколько времени в течение суток этот фонтан работает?

4. Свежая вишня содержала 99% воды. После усушки влажность составила 98%. На сколько процентов надо поднять цену подсушенной вишни, чтобы выручить намеченную прежде сумму?

5.О натуральном числе Х получено 5 сообщений:

1) Х – двузначное число, 2) Х делится на 5, 3) Х не больше 14, 4) Х является квадратом целого числа, 5) Х – нечётное число. Известно, что четыре из этих сообщений истинны, а одно ложно. Чему равно Х?

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике

2022-2020 учебный год, 7 класс

РЕШЕНИЯ (1 вариант)

1.Ответ: 2790, 2970, 6795, 6975.

Четырёхзначное число, средние цифры которого 9 и 7, имеет вид: *97* или *79*. Так как число должно делиться на 45, значит оно должно делиться на 5 и 9( так как 45=5х9). Значит, эти четырёхзначные числа оканчиваются на 5 или 0 ( т.к. делятся на 5). Т.е. имеют вид: *970, *790, *795, *975. Но они делятся и на 9, значит, сумма цифр тоже делится на 9. 9 7=16, не хватает 2. 7 9 5=21, не хватает 6. Значит, эти числа 2970, 2790, 6795, 6975.

2.Ответ: 60 кг.

Пусть добавили Х кг пресной воды. Масса смеси (Х 40) кг. Первоначально в морской воде было 40х0,05=2 кг соли. В смеси стало (Х 40)0,02 кг соли и так как её количество осталось неизменным, то

 (Х 40)0,02=2.

0,02Х=1,2

Х=60.

3. Ответ: 24 часа.

Пусть х км/ч – собственная скорость теплохода, а у км/ч скорость течения. За 3 часа по течению теплоход пройдёт 3(х у) км, а за 4 часа против течения

 4(х-у) км. Так как теплоход проходит одинаковое расстояние, то

3(х у)=4(х-у)

7у=х.

Найдём расстояние между пристанями 3(7у у)=24у. Так как у км/час – это скорость течения, а, значит и скорость плота, то ему потребуется 24 часа, чтобы преодолеть расстояние 24у км.

4.Ответ: 3 см.

Сначала отрежем 2 квадрата со стороной 141 см, т.к. 324=141х2 42. Остаётся прямоугольник с размерами 141см и 42 см. Теперь отрезаем квадраты со стороной 42 см, можем отрезать 3 таких квадрата, т.к. 141=42х3 15. Остаётся прямоугольник со сторонами 42 см и 15 см. Отрезаем квадраты со стороной 15 см, их отрезаем 2, т.к. 42=15х2 12. Остаётся прямоугольник со сторонами 15 см и 12 см. Далее отрезаем квадраты со стороной 12 см, можем отрезать 1, т.к.15=12х1 3. Остаётся прямоугольник со сторонами 12см и 3см.  Осталось отрезать квадраты со стороной 3 см, их можем отрезать 4, т.к. 12=3х4.

5. Ответ: Дмитрий.

Предположим, что ошибся Илья. Тогда неверны сразу два первых его высказывания, а это противоречит условию задачи. Значит, ошибиться Илья не мог.

Предположим, что ошибся Дмитрий. Тогда первое его утверждение неверно, а два других верно. Т.е. противоречий с условием нет, значит, Дмитрий мог ошибиться.

Составим таблицу. Знаком «_»отметим заведомо  неверные высказывания, а знаком « » те, которые могут быть верными.

Предположим, что ошибся Алексей. Тогда неверно третье высказывание Ильи, т.к. два первых его высказывания верны, поэтому неверно третье высказывание Алексея (оно точно такое же).  Тогда верно первое высказывание Алексея (только одно из его высказываний-третье-неверное), а это противоречит предположению. Т.е. Алексей ошибиться не мог.

Значит, ошибся Дмитрий.

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике

2022-2020 учебный год, 7 класс

РЕШЕНИЯ (2 вариант)

1.  Ответ: можно.

Число 203 можно разложить на два простых множителя 7 и 29. Тогда представим его в виде суммы этих слагаемых и добавим 167 слагаемых, равных 1, т.е. 203=7 29 1 1 1 … 1. Тогда

203=7х29х1х1х1х1х….х1, где множителей, равных 1, тоже 167.

2. Ответ: Ученик брался решать 13 задач.

Пусть х – количество верно решённых задач, а у – неправильно решённых задач. Баллы, которые набрал ученик 8х-5у=13. Преобразуем уравнение так, чтобы выделить в нём сумму х у (количество задач, к которым приступал ученик). 8(х у)=13(1 у). Т.к. 8 не делится на 13, то сумма (х у) делится на 13 и по условию х у  не больше 20. Поэтому х у=13. Тогда х=6, а у=7, т.к. 1 у =8.

3. Ответ: 7 часов 20 минут

Рассмотрим часовую стрелку. В течение суток часовая стрелка попадает между цифрами 3 и 4, 8 и 9 четыре раза по 1 часу. Значит, фонтан будет работать в течение 4 часов.

Рассмотрим минутную стрелку. В течение 1 часа минутная стрелка попадает между цифрами 3 и 4, 8 и 9 два раза по 5 минут. Т.к. в сутках 24 часа, исключаем 4 часа, т.к. фонтан уже работает ( там уже будет часовая стрелка и фонтан будет работать), то 20 х10 мин=200 мин=3 часа 20 мин.

Значит, фонтан будет работать 4 часа 3 часа 20мин=7 часов 20 мин.

4. Ответ: на 100%

Пусть было х кг вишни. Твёрдая масса вишни ( без воды) составляет 0,01х кг. Это количество после усушки составляет 2% массы вишни. Значит, вся вишня после усушки весит 0,01х:0,02=0,5х кг. Т.е. вишня потеряла после усушки половину своей массы. Чтобы выручить намеченную сумму, надо поднять цену в два раза, т.е. увеличит на 100%.

5. Ответ: 25

Допустим, что первое утверждение ложно, тогда оставшиеся четыре верные. Но получаем противоречие, т.к. число, не большее 14, не может быть точным квадратом и делиться на 5. Значит, первое утверждение верно.

Допустим, что второе утверждение ложное. Опять получаем противоречие, т.к. двузначное число, не больше 14, не может быть точным квадратом. Значит, второе утверждение тоже верно.

Допустим, что третье утверждение ложное. Тогда двузначное число, которое делится на 5 и является квадратом целого числа это 25 и оно нечётное. Такое двузначное число единственное. Значит, третье утверждение может быть ложным.

Допустим, что четвёртое утверждение ложно. Тогда А – двузначное число, не больше 14, которое делится на 5. Это число 10. Это противоречит пятому утверждению. Значит, четвёртое утверждение тоже верно.

Допустим, что пятое утверждение ложно, а все остальные верные. Получаем противоречие, т.к. двузначное число, не больше 14, не может быть квадратом целого числа. Значит, пятое утверждение не может быть ложным.

Остаётся единственное решение: третье утверждение ложное, остальные истинны. Это число 25.

Критерии оценивания олимпиадных заданий

Задания математических олимпиад являются творческими, допускают несколько различных вариантов решений.

В соответствии с регламентом проведения математических олимпиад каждая задача оценивается из 7 баллов.

Соответствие правильности решения и выставляемых баллов приведено в таблице.

Помимо этого:

а) любое правильное решение оценивается в 7 баллов. Недопустимо снятие баллов за то, что решение слишком длинное, или за то, что решение школьника отличается от приведенного в методических разработках или от других решений, известных жюри; при проверке работы важно вникнуть в логику рассуждений участника, оценивается степень ее правильности и полноты;

б) олимпиадная работа не является контрольной работой участника, поэтому любые исправления в работе, в том числе зачеркивание ранее написанного текста, не являются основанием для снятия баллов; недопустимо снятие баллов в работе за неаккуратность записи решений при ее выполнении;

в) баллы не выставляются «за старание Участника», в том числе за запись в работе большого по объему текста, но не содержащего продвижений в решении задачи;

г) победителями олимпиады в одной параллели могут стать несколько участников, набравшие наибольшее количество баллов, поэтому не следует в обязательном порядке «разводить по местам» лучших участников олимпиады.

7 класс

1. Найдите сумму всех двузначных чисел, которые делятся без остатка на 3 (7 баллов)

2. Два брата ели конфеты из коробки. Один брат съел половину всех конфет и еще одну. Второй брат – половину оставшихся и еще три конфеты. После этого в коробке осталось 4 конфеты. Сколько конфет было в коробке первоначально? (7 баллов)

3. В команде рептилий были только черепашки. Черепашек было больше 50-ти, но меньше 100.

На церемонии открытия Олимпийских Игр Зверей эту команду никак не удавалось построить рядами по 2, 3, или 4 животных, так как одного животного всегда не хватало в последнем ряду. Поэтому пришлось построить команду черепашек рядами по 5 животных в каждом ряду. Сколько всего черепашек было в команде рептилий?  

4. Решите уравнение 3x   5y = 7 в целых числах . (7 баллов)

5. Домик Кролика нарисован 4 раза, а домик Пятачка только один раз. Где домик Пятачка?        (7 баллов)

Всероссийская олимпиада школьников   по математике

2022-2022 учебный год

Школьный этап

7 класс

1. Найдите сумму всех двузначных чисел, которые делятся без остатка на 3
2. Два брата ели конфеты из коробки. Один брат съел половину всех конфет и еще одну. Второй брат – половину оставшихся и еще три конфеты. После этого в коробке осталось 4 конфеты. Сколько конфет было в коробке первоначально?

В команде рептилий были только черепашки. Черепашек было больше 50-ти, но меньше 100.

На церемонии открытия Олимпийских Игр Зверей эту команду никак не удавалось построить рядами по 2, 3, или 4 животных, так как одного животного всегда не хватало в последнем ряду. Поэтому пришлось построить команду черепашек рядами по 5 животных в каждом ряду.Сколько всего черепашек было в команде рептилий?

4. Решите уравнение 3x   5y = 7 в целых числах.

5. Домик Кролика нарисован 4 раза, а домик Пятачка только один раз. Где домик Пятачка?