Задания школьного этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике для 6 класса, 2021-2022 уч. год.

Школьный
этап

Всероссийской
олимпиады школьников по  математике.

 2021−2022
учебный год

6
класс

Задача
1.(5 баллов)
На прямой 30 точек, расстояние между любыми двумя соседними равно 2 см.
Какое расстояние между двумя крайними точками?

Задача
2.(5 баллов)
Будет ли сумма чисел 1 2 3 …… 2022 2020 2021  делиться на 2021? Ответ
обоснуйте.

Задача
3. (5 баллов)
 Разрежьте фигурку на 6 равных клетчатых фигурок.

Задача
4.(5 баллов)  Ирина расставляет в клетках квадрата 3 на 3

числа
1, 3, 5, 7, 9. Она хочет, чтобы сумма чисел по всем горизонталям, вертикалям и
диагоналям делилась на 5. Приведите пример такой расстановки, при условии, что
каждое число Ирина собирается использовать не более двух раз.

Задача
5. (5 баллов)  Вася и Петя живут в горах и любят ходить
друг к другу в гости. При этом в гору они поднимаются со скоростью 3 км/ч, а с
горы спускаются со скоростью 6 км/ч (горизонтальных участков дороги нет). Вася
подсчитал, что до Пети он идет 2 часа 30 минут, а обратно 3 часа 30 минут.
Какое расстояние между домами Васи и Пети?

Максимальный
балл: 25

Набрано
баллов:______

Процент:____________

Ключи школьной олимпиады по математике

6 класс

1. На прямой 30
точек, расстояние между любыми двумя соседними равно 2 см. Какое расстояние
между двумя крайними точками?

Ответ. 58 см.

Решение. Между крайними
точками помещается 29 частей по 2 см.

2
см · 29 = 58 см.

2. Будет ли сумма
чисел 1 2 3 …… 2022 2020 2021 делиться на 2021? Ответ обоснуйте.

Ответ. Будет.

Решение.
Представим
данную сумму в виде следующих слагаемых:
(1 2020) (2 2022) ….. (1010 1011) 2021.

Так
как каждое слагаемое делится на 2021, то и вся сумма будет делиться на 2021.

3. Разрежьте фигурку
на 6 равных клетчатых фигурок.

Решение.
Фигурку
можно разрезать только так

4. Ирина
расставляет в клетках квадрата 3 на 3 числа 1, 3, 5, 7, 9. Она хочет, чтобы
сумма чисел по всем горизонталям, вертикалям и диагоналям делилась на 5.
Приведите пример такой расстановки, при условии, что каждое число Ирина
собирается использовать не более двух раз.

Решение.
Ниже приведена одна из расстановок. Существуют и другие решения.

5. Вася
и Петя живут в горах и любят ходить друг к другу в гости. При этом в гору они
поднимаются со скоростью 3 км/ч, а с горы спускаются со скоростью 6 км/ч
(горизонтальных участков дороги нет). Вася подсчитал, что до Пети он идет 2
часа 30 минут, а обратно 3 часа 30 минут. Какое расстояние между домами Васи и
Пети?

Ответ:
12 км.

Решение:
Дорога от Васи до Пети и обратно занимает 6 часов, при этом, так как в гору
идти в два раза медленнее, чем под гору, на все подъемы ребята тратят в два
раза больше времени, чем на спуски.

Таким образом, если идти от Васи до Пети и
обратно, то на спуски будет потрачено 2 часа, а на подъемы – 4 часа, то есть
длина подобного маршрута равна (6·2 4·3) = 24 км.

Следовательно, расстояние от Пети до Васи
равно 12 км.

Критерии
проверки