Школьный этап 2020 олимпиады по математике 4-11 класс ответы и задания ВСОШ | ЕГЭ ОГЭ СТАТГРАД ВПР 100 баллов

Школьный этап 2020 олимпиады по математике 4-11 класс ответы и задания ВСОШ | ЕГЭ ОГЭ СТАТГРАД ВПР 100 баллов Олимпиада

Вош 2020 муниципальный этап по математике 10 класс задания и ответы с олимпиады:

1)Андрей и Борис бегают по круговой дорожке, причём Андрей бежит по часовой стрелке, а Борис — против. Если Андрей увеличит свою скорость в три раза, мальчики начнут встречаться в полтора раза чаще. Во сколько раз чаще они станут встречаться, если свою скорость увеличит в три раза Борис?

Ответ: в 2,5 раза

2)Из квадрата 5 × 5 вырезали четыре угловые клетки. Сколько существует способов разрезать оставшуюся фигуру на прямоугольники 1 × 3?

Ответ: 6

3)Число называется палиндромом, если оно совпадает с числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке. Сколько существует четырёхзначных чисел-палиндромов, делящихся на 15?

Ответ: 3

4)На координатной плоскости отмечены все точки, у которых обе координаты натуральные и не превосходят 3. За один ход разрешается назвать любые три вещественных числа a, b и c (a 6= 0) и удалить все отмеченные точки, которые лежат на графике функции y = ax2 bx c. За какое наименьшее число ходов можно удалить все отмеченные точки?

Ответ: за 3 хода

5)В стране есть 20 прямых автотрасс. Любые две автотрассы пересекаются, и на их пересечении расположен город. Через город A проходит семь из этих автотрасс, через город B — четыре, через город C — три, а через каждый из оставшихся городов — по две. Сколько городов в этой стране?

Ответ: 163 города

6)Биссектрисы углов B и D вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются на его диагонали AC. На прямой DA отметили точку E такую, что вершина A является серединой отрезка DE. Докажите, что описанная окружность треугольника DBE касается прямой DC.

Вош 2020 муниципальный этап по математике 11 класс задания и ответы с олимпиады:

1)Некто выложил по кругу 2022 карточек. Известно, что среди любых трёх подряд идущих карточек есть по меньшей мере две желтые, а среди любых пяти подряд идущих карточек есть по меньшей мере одна красная. Может ли среди этих карточек присутствовать зелёная?

Ответ: нет, не может

2)Докажите, что при всех значениях параметра a расстояние между корнями квадратного уравнения x 2 (2a 1)x (a 2 a) = 0 одно и то же

Ответ: Тогда по теореме Виета его корнями являются числа −a и −(a 1), расстояние между которыми равно 1 при всех значениях a.

3)В Учёном Совете состоит 19 профессоров. Однажды каждый из них написал письма 9 членам совета. После этого оказалось, что каждый получил ровно 9 таких писем. Могло ли оказаться, что никакие два учёных не написали друг другу?

Ответ: да, могло

4)Натуральное число называется свободным от кубов, если ни один из его делителей не является кубом натурального числа, большего единицы. Оля написала на доске 7000 свободных от кубов чисел. Докажите, что по меньшей мере одно из этих чисел имеет простой делитель, больший 20.

5)Внутри треугольника ABC отметили точку P. Луч BP пересекает описанную окружность треугольника в точке R, а луч CP — в точке Q. На стороне AC отметили точку N так, что ∠CP N = ∠BAQ. Докажите, что ∠CRN = ∠BAP.

6)Средним геометрическим n натуральных чисел a1, a2, . . . , an называется величина √n a1 · a2 · . . . · an. При каком наибольшем натуральном n среднее геометрическое n различных натуральных чисел, не превосходящих 10, может оказаться натуральным числом?

Ответ: n=4

Вош 2020 муниципальный этап по математике 7 класс задания и ответы с олимпиады:

1)Существует ли семизначное число, состоящее из различных цифр, в котором произведение первых четырёх цифр равно сумме последних четырёх цифр?

Ответ: Да, существует.

2)Денис заполняет таблицу 4 × 4 числами так, чтобы сумма чисел в любых двух соседних по стороне клетках была одинаковой. Андрей заметил, что в нижнем левом углу таблицы стоит 20, а в нижнем правом углу таблицы — 19. Чему равна сумма чисел во всей таблице?

Ответ: 312

3)Марина написала 9 подряд идущих натуральных чисел. Марк стёр все чётные числа. Теперь самое первое число в три раза меньше самого последнего. Какое число Марина написала пятым?

Ответ: 6

4)Вася выложил из спичек квадрат 6×6, разбитый на прямоугольники 1 × 2 (все спички имеют длину 1):

Ответ: 9 прямоугольников 1 × 3.

5)Петя расставил в клетки таблицы 6 × 6 разноцветные фишки так, что в каждой клетке находится ровно одна фишка, и рядом с каждой фишкой есть хотя бы две фишки того же цвета. (Считается, что две фишки находятся рядом, если они расположены в соседних по стороне клетках).

Ответ: 9

Вош 2020 муниципальный этап по математике 8 класс задания и ответы с олимпиады:

1)Клоун Сеня катается на велосипеде, у которого три колеса разных размеров. Среднее колесо вдвое больше маленького, а большое колесо втрое больше маленького. Сеня заметил, что за время поездки маленькое колесо сделало на 3000 оборотов больше, чем среднее. Сколько оборотов сделало за время поездки большое колесо?

Ответ: 2000 оборотов

2)На боковых сторонах AB и BC равнобедренного треугольника ABC отметили точки E и F соответственно. Оказалось, что BE = EF. Биссектриса угла EF C пересекает основание AC в точке K. Докажите, что KF = KC.

3)На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Однажды встретились трое островитян: Джон, Джим и Джек. — Джим может сказать, что Джек лжец, — заявил Джон. — Джек может сказать, что Джон лжец, — заявил Джим.

Ответ: 2 или 0.

4)Петя расставил числа от 1 до 20 по кругу и для каждых трёх подряд идущих чисел вычислил их сумму. Могут ли 11 из 20 этих сумм оказаться равными?

Ответ: нет, не могут.

5)В парусном клубе состоит 9 джентльменов. Каждый день клуб выбирает двоих членов для участия в регате. Члены клуба всегда выигрывают и привозят в клубный музей кубок. Через 350 дней правление клуба выяснило, что одна из пар участников заработала больше кубков, чем любая другая. Какое наименьшее число кубков могла добыть для клубного музея эта пара?

Ответ: 8 кубков.

Вош 2020 муниципальный этап по математике 9 класс задания и ответы с олимпиады:

1)Маша старше своего брата на столько, сколько лет было её брату два года назад. А тринадцать лет назад им с братом вместе было столько лет, сколько сейчас её брату одному. Сколько лет Маше?

Ответ: 26 лет

2)Существует ли 19–значное число, у которого сумма цифр равна произведению цифр?

Ответ: да, существует.

3)Правильный треугольник со стороной длины 4 разбит параллельными сторонам линиями на 16 маленьких треугольников со стороной длины 1, как показано на рисунке:

Ответ: за 10 ходов.

4)На доске записаны числа 1, 2, . . . , n. Затем одно из чисел стёрли, после чего оказалось, что сумма всех оставшихся чисел равна 100. Какое число стёрли?

Ответ: 5

5)Точка M является серединой стороны CD квадрата ABCD. Из вершины B опустили перпендикуляр BH на прямую AM. Докажите, что прямая AM параллельна биссектрисе угла BCH.

6)В каждой клетке доски 4×4 сидит жук. Некто хлопнул в ладоши, и каждый жук в панике перебежал в одну из соседних по стороне клеток доски. Какое наибольшее число пустых клеток могло при этом получиться?

Ответ: 10

Другие олимпиады муниципального этапа всош 2021-2022:

Муниципальный этап 2021-2022 всероссийской олимпиады школьников задания и ответы

Задания девятой олимпиады по математике осень 2021 7 класс | систематика

Задача №1
Автор: Вольфсон Георгий

Придумайте наибольшее натуральное число, все цифры которого различны, а все слова при записи этого числа по русски, начинаются на одну и ту же букву.

Задача №2
Автор: Овчинников Михаил

Длины стороны треугольника равны трём простым числам. Его периметр равен 62 см.
Чему может быть равна каждая сторона треугольника?

Задача №3
Автор: Данченко Оксана

Есть набор гирь. 64, 40, 6, 8, 7, 16, 32, 48
Надо поставить все гири на две чаши весов так, чтобы они оказались в равновесии, возможно предварительно выкинув некоторые из них.
Какое наименьшее число гирь может быть выкинуто?

Задача №4
Автор: Вольфсон Георгий

Можно ли расставить числа от 1 до 20 в таблице 9х11 (числа могут повторяться) так, для каждой пары чисел нашлось место в таблице, где они занимают соседние по стороне клетки?

Задача №5
Автор: Данченко Оксана

Есть мешок монет, каждая из которых весил 3 или 4 грамма.
Монеты можно взвешивать на чашечных весах, но в момент взвешивания на одну из чаш прыгает невидимый гном весом в 1 грамм.
Как сделав не более трех взвешиваний поймать гнома (указать на чашу, где он в данный момент находится)?

Задача №6
Автор: Данченко Оксана

Из квадрата 14х14 вырезали 16 квадратиков 2х2 (по линиям сетки).
Какое наибольшее число квадратов 2х2 вы еще можете гарантированно вырезать?

Задача №7
Автор: Данченко Оксана

Есть 10-этажный дом, в котором 7 подъездов. На каждом этаже 4 квартиры. Номер этажа Васи равен номеру подъезда Пети и наоборот, номер этажа Пети равен номеру подъезда Васи. Сумма номеров их квартир равна 442.
Найти в какой квартире по счету живут мальчики на своем этаже.

Задача №8
Автор: Данченко Оксана

В клане гномов заведено, что гном своему более молодому соплеменнику всегда врет, а более старшему обязан говорить правду (ровесников нет). Несколько гномов встали в круг и каждый сказал своему правому соседу «ты своему правому соседу солжешь».
Могло ли это произойти, если гномов в кругу 2021?

Задача №9
Автор: Иванюк Дмитрий

В стране Рыцарей и Лжецов живут рыцари, которые всегда говорят правду и лжецы, которые всегда лгут.
Однажды встретились трое учеников.
«Вчера была олимпиада по математике. Сегодня – по физике», – произнес Боря.
«Сегодня олимпиада по информатике. А вчера действительно была олимпиада по математике», – сказал Вася.
«Нет, вчера была олимпиада по физике» – вступил в спор Гена,– «А сегодня олимпиада по информатике!».
Зная, что олимпиада проводится три дня (вчера, сегодня и ещё завтра) и с предметами никто не напутал — восстановите
график олимпиад.

Поделиться

Официальные задания, ответы и решения муниципального этапа 2021 всероссийской олимпиады школьников ВСОШ по математике для 7, 8, 9, 10, 11 класса 2021-2022 учебного года, официальная дата проведения олимпиады в Москве: 1-5 декабря 2021 год.

Олимпиада для 7 класс:задания | ответы

Олимпиада для 8 класс:задания | ответы

Олимпиада для 9 класс:задания | ответы

Олимпиада для 10 класс:задания | ответы

Олимпиада для 11 класс:задания | ответы

Школьный этап вош 2020 олимпиады по математике 4-11 класс задания:

1)На доске были написаны четыре арифметических примера. Вера стёрла один знак «плюс», один знак «минус», один знак «умножить», один знак «делить», а также четыре знака «равно». Вместо одинаковых знаков она написала одинаковые буквы, а вместо разных знаков — разные буквы. Восстановите примеры.

2)У Пети есть 25 монет, каждая из которых имеет номинал 1, 2, 5 или 10 рублей. Среди этих монет 19 — не двухрублёвые, 20 — не десятирублёвые, 16 — не однорублёвые. Сколько пятирублёвых монет у Пети?

3)Термиты съели кусок старой деревянной шахматной доски. Сколько чёрных клеток они съели?

4)В очереди в столовую стоят пять школьников: Аня, Боря, Вера, Гена и Денис. Боря стоит в начале очереди. Вера стоит рядом с Аней, но не рядом с Геной. Среди Ани, Бори и Гены никакие двое не стоят рядом. Кто стоит рядом с Денисом?

5)Антон загадал трёхзначное число, а Лёша пытается его угадать. Лёша по очереди назвал числа 109, 704 и 124. Антон заметил, что каждое из этих чисел совпадает с загаданным числом ровно в одном разряде. Какое число загадал Антон?

6)Впишите вместо букв 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸 цифры 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы сумма цифр во всех прямоугольниках 1 × 3 (и горизонтальных, и вертикальных) равнялась 13. Каждая из цифр от 1 до 5 должна встречаться в таблице ровно один раз.

7)Денис кидал дротики в четыре одинаковых поля для дартса: в каждое поле он кинул ровно три дротика, куда они попали, показано на рисунке. На первом поле он набрал 30 очков, на втором — 38 очков, на третьем — 41 очко. Сколько очков он набрал на четвёртом поле? (За попадание в каждую определённую зону — кольцо или центральное поле — даётся определённое количество очков.)

8)В роще растут деревья четырёх видов: березы, ели, сосны и осины. Всего 100 деревьев. Известно, что среди любых 85 деревьев найдутся деревья всех четырёх видов. Среди какого наименьшего количества любых деревьев в этой роще обязательно найдутся деревья хотя бы трёх видов?

9)После футбольного матча тренер построил команду в шеренгу, как показано на рисунке, и скомандовал: «В раздевалку бегут те, у кого номер меньше, чем у любого из соседей». После того, как несколько человек убежало, он повторил свою команду. Тренер продолжал до тех пор, пока не остался один игрок.

10)На урок физкультуры Алина, Богдан, Вика и Гриша пришли в шортах и футболках, причём каждый из этих предметов одежды был синего или красного цвета. У Алины и Богдана футболки были красные, а шорты — разного цвета. У Вики и Гриши футболки были разного цвета, а шорты — синие. Также известно, что у девочек футболки разные по цвету, да и шорты тоже. Кто из детей в какой одежде?

11)К первому сентября Влад купил себе несколько шариковых и гелевых ручек. Он заметил, что если бы все купленные ручки были гелевыми, то он заплатил бы в 4 раза больше, чем вышло у него. А если бы все ручки были шариковыми, то покупка обошлась бы в 2 раза дешевле реальной. Во сколько раз гелевая ручка дороже, чем шариковая?

12)Расставьте цифры от 1 до 6 (каждую нужно использовать ровно один раз) так, чтобы сумма трёх чисел, расположенных на каждой из 7 прямых, была равна 15. В ответе укажите, какие цифры должны стоять на местах 𝐴 – 𝐹.

13)Дома Андрея, Бори, Вовы и Глеба расположены в некотором порядке на одной прямой улице. Расстояние между домами Андрея и Бори, как и расстояние между домами Вовы и Глеба, равно 600 м. Чему может равняться в метрах расстояние между домами Андрея и Глеба, если известно, что оно в 3 раза больше, чем расстояние между домами Бори и Вовы? Укажите все возможные варианты. 

14)Ване на Новый Год подарили три набора конфет. В наборах три вида конфет: леденцы, шоколадные и мармеладные. Общее количество леденцов во всех трёх наборах равно общему количеству шоколадных конфет во всех трёх наборах, а также общему количеству мармеладных конфет во всех трёх наборах.

15)Мышонок Джерри решил подарить коту Тому на День Рождения пирог в виде квадрата 8 × 8. В три куска, отмеченные буквой «Р», он положил рыбу, в два куска, отмеченные буквой «К», положил колбасу, а ещё в один кусок добавил и то, и другое, но такой кусок не отметил (все остальные куски — без начинки).

Также Джерри сообщил Тому, что в любом квадрате 6 × 6 есть хотя бы 2 куска с рыбой, а в любом квадрате 3 × 3 — не более одного куска с колбасой. Какое наименьшее количество кусков пирога надо съесть Тому, чтобы среди них гарантированно оказался кусок с рыбой и колбасой?

16)Есть 7 абсолютно одинаковых кубиков, у которых отмечены на одной грани 3 точки, на двух гранях по 2 точки, на остальных по 1. Из этих кубиков склеили фигуру в виде буквы «П», изображённую на рисунке, причём количество точек на любых двух соприкасающихся гранях одинаково.

17)В квадрате 4×4 в отмеченной серым фоном клетке стоит фишка. За одно действие фишка перемещается в соседнюю по стороне клетку, по направлению стрелочки, на которой стоит. Также после каждого перемещения стрелочка в клетке, где только что была фишка, меняется на противоположную. С какой клетки фишка выйдет за границу квадрата? В ответе укажите строку и столбец этой клетки.

18)В соревновании по бегу участвовали пять спортсменов: 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 и 𝐸. Было сделано два прогноза, в каком порядке они финишируют. Первый прогноз: 𝐴 — первый, 𝐵 — второй, 𝐶 — третий, 𝐷 — четвёртый, 𝐸 — пятый.  Второй прогноз: 𝐶 — первый, 𝐸 — второй, 𝐴 — третий, 𝐵 — четвёртый, 𝐷 — пятый.

19)Три купца: Фома, Ерёма и Юлий встретились в Новгороде. Если Фома отдаст Ерёме 70 золотых монет, то у Ерёмы и Юлия будет поровну денег. Если Фома отдаст Ерёме 40 золотых монет, то у Фомы и Юлия будет поровну денег. Сколько золотых монет должен отдать Фома Ерёме, чтобы у них двоих стало поровну денег?

20)В прибрежной деревне 7 человек рыбачат каждый день, 8 человек рыбачат через день, 3 человека рыбачат раз в три дня, а остальные не рыбачат вовсе. Вчера рыбачили 12 человек, сегодня рыбачат 10 человек. Сколько людей будет рыбачить завтра?

21)На рисунке изображено 4 квадрата. Известно, что длина отрезка 𝐴𝐵 равна 11, длина отрезка 𝐹𝐸 равна 13, длина отрезка 𝐶𝐷 равна 5. Чему равна длина отрезка 𝐺𝐻?

22)На фотографирование класса пришли 4 девочек и 8 мальчиков. Дети по двое подходят к фотографу и делают совместное фото. Среди какого наименьшего количества фотографий обязательно есть либо фотография двух мальчиков, либо фотография двух девочек, либо две фотографии с одними и теми же детьми?

23)Восемь бумажных квадратов 2 × 2 последовательно выкладывали на стол, пока не получился большой квадрат 4 × 4. Последним на стол положили квадрат 𝐸. На рисунке изображено, как видны квадраты: квадрат 𝐸 видно полностью, остальные квадраты видно частично. Какой квадрат положили на стол третьим по счёту?

24)Натуральное число 𝑛 назовём хорошим, если 2020 при делении на 𝑛 даёт остаток 22. Сколько существует хороших чисел?

25)Петя записал на доску 20 натуральных чисел 1, 2, … , 20. Вася сначала стёр все чётные числа, а затем стёр все числа, дающие остаток 4 при делении на 5. Сколько чисел осталось на доске?

26)Денис разбил треугольник на девять треугольничков, как показано на рисунке, и расставил в них числа, при этом в белых треугольниках числа оказались равны суммам чисел в соседних с ними (по сторонам) серых треугольниках. После этого Лёша стёр числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6 и вместо них написал буквы 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸 и 𝐹 в некотором порядке. Получившаяся расстановка чисел и букв изображена на рисунке.

27)Листы в книге пронумерованы следующим образом: первый лист — это две страницы (с номерами 1 и 2), второй лист — это следующие две страницы (с номерами 3 и 4) и так далее. Хулиган Петя вырвал из книги несколько подряд идущих листов: первая вырванная страница имеет номер 185, а номер последней вырванной страницы состоит из тех же цифр, но идущих в другом порядке. Сколько листов вырвал Петя?

28)На рисунке изображена фигура, состоящая из 17 клеток. Сколько существует способов разрезать её на 8 прямоугольников 1 × 2 и один квадратик 1 × 1?

29)Прямоугольник разрезали на девять квадратов, как показано на рисунке. Длины сторон прямоугольника и всех квадратов— целые числа. Какое наименьшее значение может принимать периметр прямоугольника?

30)Расстояние между городами А и Б составляет целое число километров. На дороге между городами каждый километр стоит табличка: на одной стороне написано расстояние до города А, на другой — до города Б. Слава шёл пешком из города А в город Б. В течение своего путешествия Слава посчитал для каждой таблички НОД чисел, написанных на ней.

31)В выборах на должность президента класса соревновались Петя и Вася. В течение трёх часов 27 учеников класса голосовали за одного из двух кандидатов. За первые два часа за Петю было отдано на 9 голосов больше, чем за Васю. А за последние два часа за Васю было отдано на 9 голосов больше, чем за Петю. В итоге Петя победил. С преимуществом в какое наибольшее количество голосов он мог победить?

32)У Карлсона и Малыша есть несколько банок варенья, каждая весит целое число фунтов. Суммарный вес всех банок варенья Карлсона в 13 раз больше суммарного веса всех банок Малыша. Карлсон отдал Малышу банку с наименьшим весом (из тех, что были у него), после чего суммарный вес его банок оказался в 8 раз больше суммарного веса банок Малыша. Какое наибольшее количество банок варенья могло изначально быть у Карлсона?

33)Квадрат разрезали на четыре равных прямоугольника, а из них сложили большую букву П (см. рисунок), периметр которой равен 56.Чему равен периметр первоначального квадрата?

34)Числа от 1 до 9 расставили в клетки таблицы 3 × 3 так, что сумма чисел на одной диагонали равна 7, а на другой — 21. Чему равна сумма чисел в пяти закрашенных клетках?

35)Четверо ребят гуляли вдоль аллеи и решили посчитать количество елей, высаженных вдоль неё. • Аня сказала: «Вдоль аллеи всего 15 елей.» • Боря сказал: «Количество елей делится на 11.» • Вера сказала: «Елей точно меньше 25.» • Гена сказал: «А я уверен, что их количество делится на 22.» Один мальчик и одна девочка сказали правду, а остальные двое ошиблись. Сколько елей растёт вдоль аллеи?

36)В классе учатся 20 человек. Размышляя, каким девочкам отправить валентинку на 14 февраля, каждый мальчик составил список из всех симпатичных ему девочек одноклассниц (возможно, пустой). Известно, что не существует трёх мальчиков, у которых списки совпадают по количеству девочек. Какое наименьшее количество девочек может быть в классе?

37)На бал пришли дамы и джентльмены — всего меньше 50 человек. Во время первого танца лишь четверть дам не были приглашены на танец, и 2/7 от общего количество джентльменов никого не пригласили. Сколько человек пришло на бал? (Для танца некоторый джентльмен приглашает некоторую даму.)

38)Про четырёхугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 известно, что 𝐴𝐵 = 𝐵𝐷, ∠𝐴𝐵𝐷 = ∠𝐷𝐵𝐶, ∠𝐵𝐶𝐷 = 90∘ . На отрезке 𝐵𝐶 отмечена точка 𝐸 такая, что 𝐴𝐷 = 𝐷𝐸. Чему равна длина отрезка 𝐵𝐷, если известно, что 𝐵𝐸 = 7, 𝐸𝐶 = 5?

39)Маша выписала на доску в порядке возрастания все натуральные делители некоторого числа 𝑁 (самый первый выписанный делитель—1, самый большой выписанный делитель — само число 𝑁). Оказалось, что третий с конца делитель в 21 раз больше второго с начала. Какое наибольшее значение может принимать 𝑁?

40)Фигуру, изображённую на рисунке, разрезали на одноклеточные квадраты и прямоугольники 1 × 2. Какое наибольшее количество прямоугольников 1 × 2 при этом могло получиться?

41)Антон, Вася, Саша и Дима ехали на машине из города А в город Б, каждый из них по очереди был за рулём. Весь путь машина ехала с постоянной скоростью. Антон вёл машину в два раза меньше, чем Вася, а Саша вёл машину столько же, сколько Антон и Дима вместе взятые.

42)К 30 пальмам в разных частях необитаемого острова прибито по табличке. • На 15 из них написано: «Ровно под 15 табличками зарыт клад». • На 8 из них написано: «Ровно под 8 табличками зарыт клад». • На 4 из них написано: «Ровно под 4 табличками зарыт клад».

43)На рисунке слева направо изображены пересекающиеся квадраты со сторонами 12, 9, 7, 3 соответственно. На сколько сумма чёрных площадей больше, чем сумма серых площадей?

44)У Буратино есть много монет по 5 и по 6 сольдо, каждого вида более 10 монет. Придя в магазин и купив книгу за 𝑁 сольдо, он понял, что не сможет за неё рассчитаться без сдачи. Какое наибольшее значение может принимать натуральное 𝑁, если оно не больше 50?

45)На бал пришли 29 мальчиков и 15 девочек. Некоторые мальчики потанцевали с некоторыми девочками (не более одного раза в каждой паре). После бала каждый человек рассказал родителям, сколько раз он танцевал. Какое наибольшее количество различных чисел дети могли назвать?

26)В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 проведена биссектриса 𝐴𝐿. Точки 𝐸 и 𝐷 отмечены на отрезках 𝐴𝐵 и 𝐵𝐿 соответственно так, что 𝐷𝐿 = 𝐿𝐶, 𝐸𝐷 ∥ 𝐴𝐶. Найдите длину отрезка 𝐸𝐷, если известно, что 𝐴𝐸 = 15, 𝐴𝐶 = 12.

27)В каждую клетку таблицы 5×5 невидимыми чернилами вписано натуральное число. Известно, что сумма всех чисел равна 200, а сумма трёх чисел, находящихся внутри любого прямоугольника 1 × 3, равна 23. Чему равно центральное число в таблице?

28)У Юры есть 𝑛 карточек, на которых написаны числа от 1 до 𝑛. После того, как Юра потерял одну из них, сумма чисел на оставшихся оказалась равна 101. Какое число написано на потерянной карточке?

29)В центральной клетке доски 21 × 21 находится фишка. За один ход можно передвинуть фишку в соседнюю по стороне клетку. Алина сделала 10 ходов. Сколько существует клеток, где может оказаться фишка?

30)Хулиган Вася любит бегать по эскалатору в метро, причём вниз он бежит в два раза быстрее, чем вверх. Если эскалатор не работает, то, чтобы сбегать вверх и вниз, Васе потребуется 6 минут. Если эскалатор едет вниз, то, чтобы сбегать вверх и вниз, Васе потребуется 13,5 минут.

31)Прямоугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 таков, что 𝐴𝐷 = 2𝐴𝐵. Точка 𝑀 — середина стороны 𝐴𝐷. Внутри прямоугольника нашлась точка 𝐾 такая, что ∠𝐴𝑀𝐾 = 80 градусов и луч 𝐾𝐷 является биссектрисой угла 𝑀𝐾𝐶. Сколько градусов составляет угол 𝐾𝐷𝐴?

32)Внутри круга нарисовано 16 радиусов этого круга и 10 окружностей, центры которых совпадают с центром круга. На сколько областей радиусы и окружности делят круг?

33)Вдоль дороги в один ряд стоят 25 столбов. Иногда на один из столбов садится чиж, и сразу же с одного из соседних столбов взлетает чиж (если на соседних столбах в этот момент хоть кто-нибудь сидел). Также на каждом столбе не может сидеть более одного чижа. Первоначально на столбах нет птиц. Какое наибольшее количество чижей могут одновременно находиться на столбах?

34)Натуральное число 𝑛 назовём интересным, если 2𝑛 является точным квадратом, а 15𝑛 — точным кубом. Найдите наименьшее интересное число.

35)У Сени есть три прямых палки длиной 24 сантиметра каждая. Сеня разломил одну из них на две части так, что из двух кусков этой палки и двух целых палок он смог выложить контур прямоугольного треугольника. Сколько квадратных сантиметров составляет площадь этого треугольника?

36)По зову воеводы пришли 55 солдат: лучники и мечники. Все они были одеты либо в золотые, либо в чёрные доспехи. Известно, что мечники говорят правду, когда носят чёрные доспехи и обманывают, когда носят золотые доспехи, а лучники — наоборот. • На вопрос «На тебе золотые доспехи?» утвердительно ответили 44 человека.

37)Внутри куба 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 расположен центр 𝑂 сферы радиуса 10. Сфера пересекает грань 𝐴𝐴1𝐷1𝐷 по окружности радиуса 1, грань 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 по окружности радиуса 1, грань 𝐶𝐷𝐷1𝐶1 по окружности радиуса 3. Найдите длину отрезка 𝑂𝐷1 .

38)Дана возрастающая последовательность из 8 действительных чисел. Диана выписала всевозможные последовательности из 4 чисел, идущих в ней подряд. Оказалось, что две из пяти новых последовательностей являются арифметическими прогрессиями с разностями 4 и 36 соответственно, а одна из последовательностей является геометрической прогрессией. Найдите наибольшее из данных 8 чисел. Укажите все возможные варианты.

Оцените статью
Олимпиада